Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Ejercicio A4
Sean las funciones: $f(x)=1\mathrm{/}x$, $g(x)=x^2$, $h(x)=x^2\mathrm{/}8$.

a) Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones.
b) Calcular el área de dicho recinto.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibujar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{finito,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{cuadrante,}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esas}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{funciones.}}$

Calculamos los cortes dos a dos, quedándonos con los del primer cuadrante.

$x^2={\displaystyle \frac{1}{x}}\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1(y=1)$

${\displaystyle \frac{x^2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{x}}\Rightarrow x^3=8\Rightarrow x=2(y={\displaystyle \frac{1}{2}})$

$x^2={\displaystyle \frac{x^2}{8}}\Rightarrow 8x^2=x^2\Rightarrow x=0$

Los tres vértices del recinto son, por tanto, $(0,0)$, $(1,1)$ y $(2,{\displaystyle \frac{1}{2}})$. Evaluando en puntos intermedios se ve cuál va por arriba en cada tramo:

$\text{Si }x={\displaystyle \frac{1}{2}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}>{\displaystyle \frac{1}{32}};\text{Si }x={\displaystyle \frac{3}{2}}:{\displaystyle \frac{2}{3}}>{\displaystyle \frac{9}{32}}$

El borde inferior es la parábola $h(x)={\displaystyle \frac{x^2}{8}}$ en todo el ancho; el superior es $g(x)=x^2$ entre $x=0$ y $x=1$, y la hipérbola $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ entre $x=1$ y $x=2$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{recinto.}}$

Como la curva que hace de borde superior cambia en $x=1$, el área se calcula en dos trozos y se aplica en cada uno la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_0^1(x^2-{\displaystyle \frac{x^2}{8}})dx+{\int }_1^2({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{x^2}{8}})dx$

El primer trozo, simplificando el integrando a ${\displaystyle \frac{7x^2}{8}}$:

${\int }_0^1{\displaystyle \frac{7x^2}{8}}dx={\left[{\displaystyle \frac{7x^3}{24}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{7}{24}}$

El segundo, teniendo en cuenta que la primitiva de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ es el logaritmo:

${\int }_1^2({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{x^2}{8}})dx={[\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{x^3}{24}}]}_1^2$

$=(\ln 2-{\displaystyle \frac{8}{24}})-(0-{\displaystyle \frac{1}{24}})=\ln 2-{\displaystyle \frac{7}{24}}$

Sumando los dos trozos se cancelan las fracciones:

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{7}{24}}+\ln 2-{\displaystyle \frac{7}{24}}=\ln 2\approx \mathrm{0,69}$

El área del recinto es de $\ln 2$ unidades de área.