Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Ejercicio A4
Calcula $\int {\displaystyle \frac{7x+13}{(x+1)(x^2-x-2)}}dx\mathrm{.}$

Es el cociente de dos polinomios con el numerador de grado menor que el denominador, así que se descompone en fracciones simples. Factorizamos primero por completo el denominador.

$x^2-x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ x=-1\end{array}$

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$

$(x+1)(x^2-x-2)=(x+1{)}^2(x-2)$

El factor $(x+1)$ aparece dos veces, de modo que en la descomposición hay que incluir sus dos potencias:

${\displaystyle \frac{7x+13}{(x+1{)}^2(x-2)}}={\displaystyle \frac{M}{x+1}}+{\displaystyle \frac{N}{(x+1{)}^2}}+{\displaystyle \frac{Q}{x-2}}$

Quitando denominadores:

$7x+13=M(x+1)(x-2)+N(x-2)+Q(x+1{)}^2$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=-1:6=-3N\Rightarrow N=-2$

$x=2:27=9Q\Rightarrow Q=3$

$x=0:13=-2M-2N+Q=-2M+4+3\Rightarrow M=-3$

La integral se convierte así en tres inmediatas:

$\int {\displaystyle \frac{7x+13}{(x+1{)}^2(x-2)}}dx=-3\int {\displaystyle \frac{dx}{x+1}}-2\int (x+1{)}^{-2}dx+3\int {\displaystyle \frac{dx}{x-2}}$

$=-3\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{2}{x+1}}+3\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+C$

Agrupando los dos logaritmos:

$=3\ln \mid {\displaystyle \frac{x-2}{x+1}}\mid +{\displaystyle \frac{2}{x+1}}+C$