Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Ejercicio B4
Dibuja el recinto limitado por las parábolas de ecuaciones $y=2x^2-4x+3$ e $y=x^2-2x+3$ y calcula el área de ese recinto.

Las dos son parábolas con las ramas hacia arriba. Localizamos sus vértices y sus puntos de corte.

$x_{V_1}={\displaystyle \frac{-(-4)}{2\cdot 2}}=1\Rightarrow V_1(1,1)$

$x_{V_2}={\displaystyle \frac{-(-2)}{2\cdot 1}}=1\Rightarrow V_2(1,2)$

Ambas tienen el vértice en la misma abscisa, lo que da al recinto una forma de lente simétrica respecto de la recta $x=1$. Igualamos para hallar los cortes:

$2x^2-4x+3=x^2-2x+3\Rightarrow x^2-2x=0$

$x(x-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

$x=0\Rightarrow y=3;x=2\Rightarrow y=3$

Se cortan, pues, en $(0,3)$ y $(2,3)$. Para saber cuál va por encima dentro del recinto basta evaluarlas en un punto intermedio:

$\text{Si }x=1:2-4+3=1<1-2+3=2$

El recinto está limitado por arriba por la parábola $y=x^2-2x+3$, la más abierta, y por abajo por $y=2x^2-4x+3$, entre las abscisas $x=0$ y $x=2$.



$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{recinto.}}$

El área se obtiene integrando entre las abscisas de los cortes la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo, y aplicando la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_0^2[(x^2-2x+3)-(2x^2-4x+3)]dx$

Simplificamos el integrando:

$(x^2-2x+3)-(2x^2-4x+3)=-x^2+2x$

${\int }_0^2(-x^2+2x)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2]}_0^2$

$=(-{\displaystyle \frac{8}{3}}+4)-0={\displaystyle \frac{4}{3}}$

El área del recinto es de ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ unidades de área.