Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Ejercicio A4
Calcula las dos integrales siguientes:

(a) (1,25 p) $\int {\displaystyle \frac{2-3x+x^3}{x^2+2x+1}}dx$,
(b) (1,25 p) $\int {\displaystyle \frac{2-3x}{x^2+2x+1}}dx$.

El grado del numerador es mayor que el del denominador, así que lo primero es efectuar la división de polinomios.

$x^3-3x+2:x^2+2x+1\Rightarrow \text{cociente }x-2,\text{ resto }4$

${\displaystyle \frac{x^3-3x+2}{x^2+2x+1}}=x-2+{\displaystyle \frac{4}{x^2+2x+1}}$

El denominador que queda es un cuadrado perfecto:

$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$

La integral se descompone así en tres inmediatas:

$\int (x-2+{\displaystyle \frac{4}{(x+1{)}^2}})dx=\int xdx-\int 2dx+4\int (x+1{)}^{-2}dx$

$={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2x-{\displaystyle \frac{4}{x+1}}+C$



Aquí el numerador ya es de grado menor, y el denominador vuelve a ser $(x+1{)}^2$. Hacemos el cambio de variable $u=x+1$, con lo que $x=u-1$ y $du=dx$:

$2-3x=2-3(u-1)=5-3u$

$\int {\displaystyle \frac{5-3u}{u^2}}du=\int ({\displaystyle \frac{5}{u^2}}-{\displaystyle \frac{3}{u}})du$

Las dos integrales que quedan son inmediatas:

$=-{\displaystyle \frac{5}{u}}-3\ln \mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+C$

Deshaciendo el cambio:

$\int {\displaystyle \frac{2-3x}{x^2+2x+1}}dx=-{\displaystyle \frac{5}{x+1}}-3\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+C$