Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B4
Se consideran las curvas de ecuaciones $y={\displaystyle \frac{x^2}{3}}$, $y=x^2+2x$ e $y=3$.

(a) (1,25 p) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por dichas curvas.
(b) (1,25 p) Calcula el área de ese recinto.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{cuadrante}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{dichas}}\mathbf{\text{curvas.}}$

Las dos primeras son parábolas con las ramas hacia arriba y la tercera es una recta horizontal. Calculamos los cortes dos a dos, quedándonos con los que están en el primer cuadrante.

${\displaystyle \frac{x^2}{3}}=x^2+2x\Rightarrow x^2=3x^2+6x\Rightarrow 2x^2+6x=0$

$2x(x+3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-3\end{array}$

$x^2+2x=3\Rightarrow x^2+2x-3=0\Rightarrow (x+3)(x-1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-3\\ x=1\end{array}$

${\displaystyle \frac{x^2}{3}}=3\Rightarrow x^2=9\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-3\\ x=3\end{array}$

Se descartan en los tres casos las soluciones negativas por no pertenecer al primer cuadrante. Quedan, pues, los vértices $(0,0)$, $(1,3)$ y $(3,3)$. Evaluando en puntos intermedios se ve cuál va por encima en cada tramo:

$\text{Si }x={\displaystyle \frac{1}{2}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}+1={\displaystyle \frac{5}{4}}>{\displaystyle \frac{1}{12}};\text{Si }x=2:3>{\displaystyle \frac{4}{3}}$

El recinto está limitado por abajo por la parábola $y={\displaystyle \frac{x^2}{3}}$ en todo su ancho, y por arriba por la parábola $y=x^2+2x$ entre $x=0$ y $x=1$, y por la recta $y=3$ entre $x=1$ y $x=3$.



$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{recinto.}}$

Como la curva que hace de borde superior cambia en $x=1$, el área se calcula en dos trozos y se aplica en cada uno la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_0^1(x^2+2x-{\displaystyle \frac{x^2}{3}})dx+{\int }_1^3(3-{\displaystyle \frac{x^2}{3}})dx$

Simplificamos el primer integrando:

$x^2+2x-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}={\displaystyle \frac{2x^2}{3}}+2x$

${\int }_0^1({\displaystyle \frac{2x^2}{3}}+2x)dx={[{\displaystyle \frac{2x^3}{9}}+x^2]}_0^1={\displaystyle \frac{2}{9}}+1={\displaystyle \frac{11}{9}}$

Y el segundo:

${\int }_1^3(3-{\displaystyle \frac{x^2}{3}})dx={[3x-{\displaystyle \frac{x^3}{9}}]}_1^3=(9-3)-(3-{\displaystyle \frac{1}{9}})$

$=6-{\displaystyle \frac{26}{9}}={\displaystyle \frac{28}{9}}$

Sumando los dos trozos:

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{11}{9}}+{\displaystyle \frac{28}{9}}={\displaystyle \frac{39}{9}}={\displaystyle \frac{13}{3}}$

El área del recinto es de ${\displaystyle \frac{13}{3}}$ unidades de área.