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Examen de Matemáticas II de País Vasco 2024 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de País Vasco, convocatoria extraordinaria de 2024. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio A1
(1p) Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro

α

{\begin{cases} α x + 4 y + z = 3, \\ α x - 5 y + 2 z = - 2, \\ 2 x - y + 3 z = 1. \end{cases}

Resuelve el sistema, si es posible,

(a) (0,75 p) cuando

α = 0

,
(b) (0,75 p) cuando

α = 1

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio B1
(2,5 p) Calcula el rango de la matriz

A

dependiendo de los valores del parámetro

m

A = (\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & 1 \\ m & 2 - m & 2 & 1 \\ m & - 2 & m - 2 & 1 \end{array})

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio A2
Se consideran las siguientes rectas:

r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 1}; s \equiv {\begin{cases} x = λ, \\ y = - 2 + 3 λ, \\ z = - 1 + λ . \end{cases}

(a) (1 p) Determina su posición relativa.
(b) (1,5 p) Si dichas rectas se cortan, calcula el ángulo mínimo formado entre ambas. En caso de que no se corten, calcula la distancia entre ambas rectas.

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio B2
Se consideran la recta y el plano siguientes:

r \equiv {\begin{cases} 2 x - y + z = 0, \\ x - y + 4 z = 1; \end{cases} π \equiv 2 x - 3 y + A z = 10.

(a) (0,75 p) Calcula el valor del parámetro

A

para que la recta

r

y el plano

π

sean paralelos.
(b) (0,75 p) Si

A = 21

, calcula la intersección del plano

π

y la recta

r

.
(c) (1 p) Si

A = 1

, calcula el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano

π

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Ejercicio A3
Sea

f (x) = x^{3} + A x^{2} + B x + C

. Las rectas tangentes a la gráfica de la función

f

en los puntos de abscisa

x = - 1

x = 2

son paralelas. Además,

f

tiene un extremo relativo cuando

x = 1

f (0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x}

.

(a) (1,5 p) Encuentra los valores de los parámetros

A

B

C

.
(b) (1 p) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = - 1

para los valores de los parámetros

A = - 3

B = 0

C = 4

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Funciones

Ejercicio B3
Sea

f (x) = 2 x e^{- 2 x^{2}}

.

(a) (1 p) Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f

.
(b) (1 p) Encuentra los extremos relativos de

f

y razona si son máximos o mínimos.
(c) (0,5 p) Calcula las asíntotas de

f

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Ejercicio A4
(2,5 p) Calcula la siguiente integral, y explica el método empleado:

\int x \ln^{2} x d x .

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio B4
Se consideran las curvas de ecuaciones

y = \frac{x^{2}}{3}

y = x^{2} + 2 x

y = 3

.

(a) (1,25 p) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por dichas curvas.
(b) (1,25 p) Calcula el área de ese recinto.

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Distribución binomial

Ejercicio A5
Los resultados publicados en diciembre de 2019 sobre la aplicación de la vacuna M72 en Sudáfrica, Kenia y Zambia revelaron que la probabilidad de quedar protegido contra la tuberculosis pulmonar activa es de 0,54. Se aplica la vacuna a un grupo de 3289 adultos.

(a) (0,5 p) Identifica la distribución correspondiente al número de adultos que quedan protegidos, y determina sus parámetros.
(b) (1 p) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en 1800 adultos.
(c) (1 p) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en menos de 1700 adultos.

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Diagramas de Venn

Ejercicio B5
Sean

A

B

sucesos aleatorios independientes, siendo sus probabilidades

P (A) = 0,7

P (B) = 0,1

, y sean

\overline{A}

\overline{B}

los sucesos complementarios de

A

B

respectivamente. Calcula las siguientes probabilidades razonadamente, e indica claramente el proceso o ley aplicada:

(a) (0,5 p)

P (A \cup B)

,
(b) (0,5 p)

P (\overline{A} \cup \overline{B})

,
(c) (0,5 p)

P (\overline{A} \cap \overline{B})

,
(d) (0,5 p)

P (A \cap \overline{B})

,
(e) (0,5 p)

P (\overline{A} ∣ \overline{B})

Ver la solución del ejercicio 10