Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Ejercicio A3
Sea $f(x)=x^3+A{x}^2+Bx+C$. Las rectas tangentes a la gráfica de la función $f$ en los puntos de abscisa $x=-1$ y $x=2$ son paralelas. Además, $f$ tiene un extremo relativo cuando $x=1$ y $f(0)={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{x}}$.

(a) (1,5 p) Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$.
(b) (1 p) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$ para los valores de los parámetros $A=-3$, $B=0$ y $C=4$.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}$

El enunciado da tres condiciones y cada una proporciona una ecuación. Calculamos primero la derivada, que interviene en las dos primeras.

$f(x)=x^3+A{x}^2+Bx+C\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2Ax+B$

i) Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada. Por tanto:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=f^{\mathrm{\prime }}(2)$

$3-2A+B=12+4A+B$

$3-2A=12+4A\Rightarrow -9=6A\Rightarrow A=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

ii) Que exista un extremo relativo en $x=1$ obliga a que la derivada se anule ahí:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 3+2A+B=0$

Sustituyendo el valor de $A$:

$3+2(-{\displaystyle \frac{3}{2}})+B=0\Rightarrow 3-3+B=0\Rightarrow B=0$

iii) El término independiente es el valor de la función en el origen, y el enunciado lo da como un límite. Este presenta la indeterminación $\frac{0}{0}$, así que aplicamos la regla de L'Hôpital:

$f(0)=C={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2e^{2x}}{1}}=2$

$C=2$

Los parámetros son $A=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, $B=0$ y $C=2$.



Con esos valores la función es otra distinta de la del apartado anterior:

$f(x)=x^3-3x^2+4$

La recta tangente pasa por el punto de la gráfica y su pendiente es el valor de la derivada en esa abscisa.

$f(-1)=-1-3+4=0$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3+6=9$

Aplicamos la ecuación punto-pendiente:

$y-0=9(x-(-1))\Rightarrow y=9x+9$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=-1$ es $y=9x+9$.