Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B3
Se sabe que la función $f(x)=A{x}^4+B{x}^2+C$ tiene un extremo relativo cuando $x=1\mathrm{/}2$ y la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x=1$ es $y=6x-2$.

(a) (1,5 p) Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$.
(b) (1 p) Encuentra todos los extremos relativos de la función $f$ y razona si son máximos o mínimos.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}$

El enunciado da tres informaciones, y cada una se traduce en una ecuación. Empezamos por la derivada, que es la que recoge las dos primeras.

$f(x)=A{x}^4+B{x}^2+C\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=4A{x}^3+2Bx$

i) Que haya un extremo relativo en $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ obliga a que la derivada se anule ahí:

$f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0\Rightarrow 4A\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+2B\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{A}{2}}+B=0$

ii) Que la recta tangente en $x=1$ sea $y=6x-2$ obliga a que la derivada valga la pendiente de esa recta:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=6\Rightarrow 4A+2B=6$

Sustituyendo $B=-{\displaystyle \frac{A}{2}}$ de la primera condición:

$4A+2(-{\displaystyle \frac{A}{2}})=6\Rightarrow 3A=6\Rightarrow A=2,B=-1$

iii) Que la recta sea tangente significa además que toca a la gráfica en ese punto, de modo que la función y la recta valen lo mismo en $x=1$:

$f(1)=6\cdot 1-2=4\Rightarrow A+B+C=4\Rightarrow 2-1+C=4\Rightarrow C=3$

Los parámetros son $A=2$, $B=-1$ y $C=3$, con lo que la función es:

$f(x)=2x^4-x^2+3$

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{razona}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos.}}$

Los extremos relativos están entre los puntos que anulan la derivada primera, así que la factorizamos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=8x^3-2x=2x(4x^2-1)=2x(2x-1)(2x+1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ x=0\\ x=\frac{1}{2}\end{array}$

Para decidir el carácter de cada uno usamos el signo de la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=24x^2-2$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-2<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\pm {\displaystyle \frac{1}{2}})=24\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}-2=4>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimos relativos}$

Calculamos las ordenadas correspondientes:

$f(0)=3,f(\pm {\displaystyle \frac{1}{2}})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+3={\displaystyle \frac{23}{8}}$

La función tiene un máximo relativo en $(0,3)$ y dos mínimos relativos en $(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{23}{8}})$ y $({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{23}{8}})$, simétricos respecto del eje de ordenadas por ser la función par.