Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B1
(2,5 p) Calcula el rango de la matriz $A$ dependiendo de los valores del parámetro $m$:
$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 1\\ m& 2-m& 2& 1\\ m& -2& m-2& 1\end{array}\right)$.

$\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{dependiendo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}$

La matriz es de orden $3\times 4$, de modo que su rango vale como mucho $3$. Para decidirlo hay que examinar sus menores de orden tres. Empezamos por el formado por las tres primeras columnas.

$\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ m& 2-m& 2\\ m& -2& m-2\end{array}\mid$

Desarrollando y simplificando, este determinante se anula idénticamente:

$=1[(2-m)(m-2)+4]-3[m(m-2)-2m]+4[-2m-m(2-m)]$

$=(-m^2+4m)-3(m^2-4m)+4(m^2-4m)=0$

Sale cero sea cual sea el valor de $m$, así que este menor no sirve para decidir el rango y hay que probar con otro. Tomamos el de las tres últimas columnas:

$\mid \begin{array}{ccc}3& 4& 1\\ 2-m& 2& 1\\ -2& m-2& 1\end{array}\mid =-m^2+5m-4=-(m-1)(m-4)$

$-(m-1)(m-4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=1\\ m=4\end{array}$

Distinguimos los casos.

i) Si $m\mathrm{\ne }1$ y $m\mathrm{\ne }4$, ese menor no se anula, luego hay un menor de orden tres no nulo y el rango es máximo.

$\text{rg}(A)=3$

ii) Si $m=1$, la matriz queda:

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& -2& -1& 1\end{array}\right)$

Se comprueba que todos sus menores de orden tres son nulos, luego el rango es menor que $3$. Basta entonces encontrar un menor de orden dos no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\mid =1-3=-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{rg}(A)=2$

iii) Si $m=4$:

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 1\\ 4& -2& 2& 1\\ 4& -2& 2& 1\end{array}\right)$

Aquí se ve a simple vista: la segunda y la tercera fila son iguales, de modo que el rango no puede llegar a $3$. Con el mismo menor de orden dos:

$\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 4& -2\end{array}\mid =-2-12=-14\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{rg}(A)=2$

El rango de $A$ es $3$ si $m\mathrm{\ne }1$ y $m\mathrm{\ne }4$, y es $2$ si $m=1$ o $m=4$.