Matemáticas II · Matrices · País Vasco · 2024

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B1
Se sabe que ∣abcpqrxyz∣=2. Calcula, explicando las propiedades aplicadas,

(a) (1,5 p) ∣3a3b3ca−pb−qc−r2x−a2y−b2z−c∣.
(b) (1 p) ∣ax2pby2qcz2r∣.

Solución

Llamamos D al determinante dado y F1, F2, F3 a sus filas, de modo que D=2. Los dos apartados se resuelven aplicando propiedades de los determinantes, sin desarrollar ninguno.

(a) (1,5 p) Calcula, explicando las propiedades aplicadas, ∣3a3b3ca−pb−qc−r2x−a2y−b2z−c∣

Si a una fila se le suma un múltiplo de otra, el determinante no cambia. Sumamos la primera fila a la tercera y restamos la primera de la segunda, con lo que ambas se simplifican:

∣abca−pb−qc−r2x−a2y−b2z−c∣=∣abc−p−q−r2x2y2z∣

Si se multiplican todos los elementos de una fila por una constante, el determinante queda multiplicado por ella. Sacamos el −1 de la segunda fila y el 2 de la tercera:

∣abc−p−q−r2x2y2z∣=(−1)⋅2⋅∣abcpqrxyz∣=−2D=−4

Falta aplicar esa misma propiedad al 3 de la primera fila del determinante pedido:

∣3a3b3ca−pb−qc−r2x−a2y−b2z−c∣=3⋅(−4)=−12

(b) (1 p) Calcula, explicando las propiedades aplicadas, ∣ax2pby2qcz2r∣

Una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante, de modo que podemos leer el dato del enunciado por columnas:

∣apxbqycrz∣=∣abcpqrxyz∣=D=2

Si se intercambian dos columnas, el determinante cambia de signo. Intercambiando la segunda y la tercera:

∣axpbyqczr∣=−∣apxbqycrz∣=−2

Por último, sacamos el 2 que multiplica a toda la tercera columna:

∣ax2pby2qcz2r∣=2⋅(−2)=−4

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