Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.2 Decimos que una matriz cuadrada es ortogonal cuando su matriz inversa coincide con su matriz transpuesta. Se pide:

2.2.1 Comprobar que para todo valor real $\alpha$ la matriz

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos (\alpha )& \sin (\alpha )\\ -\sin (\alpha )& \cos (\alpha )\end{array}\right)$

es ortogonal. (0.75 puntos)

2.2.2 Determinar los valores de $a$ y $b$ para que la matriz

$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& a\\ 0& 1& 0\\ b& 0& 0\end{array}\right)$

sea ortogonal. ¿Cuántas matrices ortogonales de esta forma existen? (0.75 puntos)

2.2.3 Resuelve la ecuación matricial con incógnita $X$

$BX+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$,

donde $B$ es una matriz ortogonal como la del apartado anterior. (1 punto)

$\mathbf{\text{2.2.1}}\mathbf{\text{Comprobar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{dada}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{ortogonal.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una matriz $A$ es ortogonal si cumple:

$A^{-1}=A^t$

Equivalente a comprobar:

$A^{t}A=I$

Sea:

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$

Entonces:

$A^t=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$

Multiplicamos:

$A^{t}A=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha & 0\\ 0& {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Por tanto, es ortogonal para todo $\alpha \in \mathbb{R}$.

$\mathbf{\text{2.2.2}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathit{B}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{ortogonal.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Usamos de nuevo la condición:

$B^{t}B=I$

Dada:

$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& a\\ 0& 1& 0\\ b& 0& 0\end{array}\right)$

Su traspuesta es:

$B^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& b\\ 0& 1& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right)$

Multiplicamos:

$B^{t}B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& b\\ 0& 1& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& a\\ 0& 1& 0\\ b& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{b}^2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& a^2\end{array}\right)$

Para que sea la identidad:

$b^2=1,a^2=1$

Por tanto:

$a=\pm 1,b=\pm 1$

Existen:

$2\cdot 2=4$

matrices ortogonales de esta forma.

$\mathbf{\text{2.2.3}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matricial}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnita}}\mathit{X}\mathbf{\text{.}}$

Partimos de:

$BX+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$

Despejamos:

$BX=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$

Como $B$ es ortogonal:

$B^{-1}=B^t$

Luego:

$X=B^t\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$

Usando:

$B^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& b\\ 0& 1& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right)$

obtenemos:

$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& b\\ 0& 1& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 0& 1\\ a& a\end{array}\right)$

con:

$a=\pm 1,b=\pm 1$