Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Ejercicio A2
Se consideran las siguientes rectas:
$r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y+1}{2}}={\displaystyle \frac{z}{-1}};s\equiv \{\begin{array}{l}x=\lambda ,\\ y=-2+3\lambda ,\\ z=-1+\lambda \mathrm{.}\end{array}$

(a) (1 p) Determina su posición relativa.
(b) (1,5 p) Si dichas rectas se cortan, calcula el ángulo mínimo formado entre ambas. En caso de que no se corten, calcula la distancia entre ambas rectas.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa.}}$

La recta $r$ viene en forma continua, de la que se leen directamente un punto y el vector director; la recta $s$ viene en paramétricas.

$P_r(1,-1,0),{\vec{v}}_r=(1,2,-1)$

$P_s(0,-2,-1),{\vec{v}}_s=(1,3,1)$

Las coordenadas de los directores no son proporcionales, ya que ${\displaystyle \frac{1}{1}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{2}{3}}$, luego las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Para decidirlo estudiamos si los dos directores y el vector que une un punto de cada recta son coplanarios.

$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(0,-2,-1)-(1,-1,0)=(-1,-1,-1)$

$\mid \begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& 3& 1\\ -1& -1& -1\end{array}\mid =1(-3+1)-2(-1+1)+(-1)(-1+3)$

$=-2-0-2=-4\mathrm{\ne }0$

Al no anularse el producto mixto, los tres vectores no son coplanarios: no existe ningún plano que contenga a las dos rectas.

Las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{dichas}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{formado}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ambas.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corten,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}$

Como se cruzan, lo que procede es calcular la distancia. Esta se obtiene dividiendo el valor absoluto del producto mixto anterior entre el módulo del producto vectorial de los directores.

$d(r,s)={\displaystyle \frac{\mid [\overrightarrow{P_r{P}_s},{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s]\mid }{\mid {\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s\mid }}$

${\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& -1\\ 1& 3& 1\end{array}\mid =(5,-2,1)$

$\mid {\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s\mid =\sqrt{25+4+1}=\sqrt{30}$

$d(r,s)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{30}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{30}}}$

Racionalizando el denominador:

$d(r,s)={\displaystyle \frac{4\sqrt{30}}{30}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{30}}{15}}\approx \mathrm{0,73}\text{ u}$

La distancia entre las dos rectas que se cruzan es de ${\displaystyle \frac{2\sqrt{30}}{15}}$ unidades.