Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B5
Sean $A$ y $B$ sucesos aleatorios independientes, siendo sus probabilidades $P(A)=\mathrm{0,7}$ y $P(B)=\mathrm{0,1}$, y sean $\bar{A}$ y $\bar{B}$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$ respectivamente. Calcula las siguientes probabilidades razonadamente, e indica claramente el proceso o ley aplicada:

(a) (0,5 p) $P(A\cup B)$,
(b) (0,5 p) $P(\bar{A}\cup \bar{B})$,
(c) (0,5 p) $P(\bar{A}\cap \bar{B})$,
(d) (0,5 p) $P(A\cap \bar{B})$,
(e) (0,5 p) $P(\bar{A}\mid \bar{B})$.

Todo el ejercicio descansa en una sola propiedad: al ser $A$ y $B$ independientes, la probabilidad de que ocurran los dos a la vez es el producto de sus probabilidades.

$P(A\cap B)=P(A)P(B)=\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{0,07}$



Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión, que descuenta la intersección para no contarla dos veces.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$=\mathrm{0,7}+\mathrm{0,1}-\mathrm{0,07}=\mathrm{0,73}$



Por las leyes de De Morgan, la unión de los contrarios es el contrario de la intersección.

$P(\bar{A}\cup \bar{B})=P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)$

$=1-\mathrm{0,07}=\mathrm{0,93}$



De nuevo por las leyes de De Morgan, ahora la intersección de los contrarios es el contrario de la unión, que ya conocemos por el apartado (a).

$P(\bar{A}\cap \bar{B})=P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)$

$=1-\mathrm{0,73}=\mathrm{0,27}$



El suceso $A$ se descompone en dos partes incompatibles: la que va acompañada de $B$ y la que no.

$P(A)=P((A\cap B)\cup (A\cap \bar{B}))=P(A\cap B)+P(A\cap \bar{B})$

$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=\mathrm{0,7}-\mathrm{0,07}=\mathrm{0,63}$

Se llega al mismo valor observando que, si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $\bar{B}$:

$P(A\cap \bar{B})=P(A)P(\bar{B})=\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{0,63}$



Partimos de la definición de probabilidad condicionada y usamos el resultado del apartado (c).

$P(\bar{A}\mathrm{\mid }\bar{B})={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,27}}{\mathrm{0,9}}}=\mathrm{0,3}$

El resultado coincide con $P(\bar{A})=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$, lo cual era de esperar: si dos sucesos son independientes, también lo son sus contrarios, y saber que no ha ocurrido $B$ no aporta ninguna información sobre $A$.