Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Ejercicio B4
Calcula las siguientes integrales:
$\int {\displaystyle \frac{x^2+4}{(x+2{)}^2}}dx,\int (x+2)\sin (3x)dx\mathrm{.}$

Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que lo primero es dividir. Como $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$:

$x^2+4=(x^2+4x+4)\cdot 1+(-4x)$

${\displaystyle \frac{x^2+4}{(x+2{)}^2}}=1-{\displaystyle \frac{4x}{(x+2{)}^2}}$

Para la fracción que queda hacemos el cambio $u=x+2$, con lo que $x=u-2$:

${\displaystyle \frac{4x}{(x+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{4(u-2)}{u^2}}={\displaystyle \frac{4}{u}}-{\displaystyle \frac{8}{u^2}}$

${\displaystyle \frac{x^2+4}{(x+2{)}^2}}=1-{\displaystyle \frac{4}{x+2}}+{\displaystyle \frac{8}{(x+2{)}^2}}$

Las tres integrales que resultan son inmediatas:

$\int {\displaystyle \frac{x^2+4}{(x+2{)}^2}}dx=\int dx-4\int {\displaystyle \frac{dx}{x+2}}+8\int (x+2{)}^{-2}dx$

$=x-4\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{8}{x+2}}+C$



El integrando es el producto de un polinomio por una función trigonométrica, así que se resuelve por partes tomando como $u$ el polinomio, que al derivarlo desaparece.

$\{\begin{array}{l}u=x+2\Rightarrow du=dx\\ dv=\mathrm{sen}(3x)dx\Rightarrow v=-{\displaystyle \frac{\cos (3x)}{3}}\end{array}$

$\int udv=uv-\int vdu$

$\int (x+2)\mathrm{sen}(3x)dx=-{\displaystyle \frac{(x+2)\cos (3x)}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\int \cos (3x)dx$

La integral que queda es inmediata:

$\int \cos (3x)dx={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(3x)}{3}}$

$\int (x+2)\mathrm{sen}(3x)dx=-{\displaystyle \frac{(x+2)\cos (3x)}{3}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(3x)}{9}}+C$