Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Ejercicio A4
Calcula $\int (x^2+1)e^{x+1}dx$, explicando el método utilizado.

El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, de modo que se resuelve por partes. Se toma como $u$ el polinomio, porque al derivarlo baja de grado; habrá que repetir el proceso tantas veces como indique ese grado, aquí dos.

$\{\begin{array}{l}u=x^2+1\Rightarrow du=2xdx\\ dv=e^{x+1}dx\Rightarrow v=e^{x+1}\end{array}$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$\int udv=uv-\int vdu$

$\int (x^2+1)e^{x+1}dx=(x^2+1)e^{x+1}-\int 2x{e}^{x+1}dx$

La integral que queda es del mismo tipo, con el polinomio ya de primer grado, así que se integra otra vez por partes con el mismo criterio:

$\{\begin{array}{l}u=2x\Rightarrow du=2dx\\ dv=e^{x+1}dx\Rightarrow v=e^{x+1}\end{array}$

$\int 2x{e}^{x+1}dx=2x{e}^{x+1}-\int 2e^{x+1}dx=2x{e}^{x+1}-2e^{x+1}$

Sustituyendo este resultado en la expresión anterior:

$\int (x^2+1)e^{x+1}dx=(x^2+1)e^{x+1}-2x{e}^{x+1}+2e^{x+1}+C$

Sacando factor común la exponencial:

$=(x^2-2x+3)e^{x+1}+C$

El método empleado ha sido la integración por partes, aplicada dos veces seguidas y tomando en ambas el polinomio como $u$, hasta que este desaparece.