Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Ejercicio B4
Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x)=e^x$, $g(x)=e^{-x}$ y la recta horizontal $y=e$, y calcula el área de ese recinto.

Las dos exponenciales son simétricas una de otra respecto del eje de ordenadas, y ambas cortan a ese eje en $y=1$. Calculamos los cortes dos a dos.

$e^x=e^{-x}\Rightarrow x=-x\Rightarrow x=0(y=1)$

$e^x=e\Rightarrow x=1(y=e)$

$e^{-x}=e\Rightarrow -x=1\Rightarrow x=-1(y=e)$

Los tres vértices del recinto son, por tanto, $(-1,e)$, $(0,1)$ y $(1,e)$. El borde superior es la recta $y=e$ en todo el ancho; el inferior es $g(x)=e^{-x}$ entre $x=-1$ y $x=0$, y $f(x)=e^x$ entre $x=0$ y $x=1$.



$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{recinto.}}$

Como la curva que hace de borde inferior cambia en $x=0$, el área se calcula en dos trozos y se aplica en cada uno la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_{-1}^0(e-e^{-x})dx+{\int }_0^1(e-e^x)dx$

El primer trozo:

${\int }_{-1}^0(e-e^{-x})dx={[ex+e^{-x}]}_{-1}^0=(0+1)-(-e+e)=1$

El segundo:

${\int }_0^1(e-e^x)dx={[ex-e^x]}_0^1=(e-e)-(0-1)=1$

Los dos trozos valen lo mismo, como era de esperar por la simetría del recinto respecto del eje de ordenadas.

$\mathcal{A}=1+1=2$

El área del recinto es de $2$ unidades de área.