Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Ejercicio B4
Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por las gráficas de las funciones $f(x)=x$, $g(x)=x\mathrm{/}8$ y $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ y calcula el área de ese recinto.

Las dos primeras son rectas que pasan por el origen, de pendientes muy distintas, y la tercera es una hipérbola. Calculamos los cortes dos a dos, quedándonos con los del primer cuadrante.

$x={\displaystyle \frac{x}{8}}\Rightarrow 8x=x\Rightarrow x=0$

$x={\displaystyle \frac{1}{x^2}}\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1(y=1)$

${\displaystyle \frac{x}{8}}={\displaystyle \frac{1}{x^2}}\Rightarrow x^3=8\Rightarrow x=2(y={\displaystyle \frac{1}{4}})$

Los tres vértices del recinto son, por tanto, $(0,0)$, $(1,1)$ y $(2,{\displaystyle \frac{1}{4}})$. El borde inferior es la recta $y={\displaystyle \frac{x}{8}}$ en todo el ancho; el superior es la recta $y=x$ entre $x=0$ y $x=1$, y la hipérbola $y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ entre $x=1$ y $x=2$.



$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{recinto.}}$

Como la curva que hace de borde superior cambia en $x=1$, el área se calcula en dos trozos y se aplica en cada uno la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_0^1(x-{\displaystyle \frac{x}{8}})dx+{\int }_1^2({\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{x}{8}})dx$

El primer trozo:

${\int }_0^1{\displaystyle \frac{7x}{8}}dx={\left[{\displaystyle \frac{7x^2}{16}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{7}{16}}$

Para el segundo escribimos la hipérbola como potencia, ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}=x^{-2}$, cuya primitiva es $-{\displaystyle \frac{1}{x}}$:

${\int }_1^2(x^{-2}-{\displaystyle \frac{x}{8}})dx={[-{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{x^2}{16}}]}_1^2$

$=(-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{4}{16}})-(-1-{\displaystyle \frac{1}{16}})=-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{17}{16}}={\displaystyle \frac{5}{16}}$

Sumando los dos trozos:

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{7}{16}}+{\displaystyle \frac{5}{16}}={\displaystyle \frac{12}{16}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

El área del recinto es de ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ unidades de área.