Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Ejercicio B4
Calcular $\int x\ln (x+1)dx$, explicando el método utilizado.

El integrando es el producto de una potencia por un logaritmo, así que se resuelve por partes. Se toma como $u$ el logaritmo, porque al derivarlo se convierte en una función racional, mucho más manejable.

$\{\begin{array}{l}u=\ln (x+1)\Rightarrow du={\displaystyle \frac{1}{x+1}}dx\\ dv=xdx\Rightarrow v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\end{array}$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$\int udv=uv-\int vdu$

$\int x\ln (x+1)dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln (x+1)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}dx$

La integral que queda es racional con el numerador de mayor grado que el denominador, así que hay que dividir:

${\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}=x-1+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$

$\int {\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x+\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }$

Sustituyendo en la expresión anterior:

$\int x\ln (x+1)dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln (x+1)-{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x+\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid })+C$

$={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln (x+1)-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+C$

Agrupando los dos logaritmos:

$={\displaystyle \frac{x^2-1}{2}}\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}+C$

El método empleado ha sido la integración por partes, seguida de una división de polinomios para resolver la integral racional que resultaba.