Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Ejercicio A4
Representar la región finita del plano limitada por la curva $y=3-x^2$ y por la recta $y=2x$. Calcular su área.

La primera es una parábola con las ramas hacia abajo y vértice en $(0,3)$; la segunda es una recta que pasa por el origen. Igualamos ambas ecuaciones para hallar los puntos de corte.

$3-x^2=2x\Rightarrow x^2+2x-3=0$

$(x+3)(x-1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-3\\ x=1\end{array}$

$x=-3\Rightarrow y=-6;x=1\Rightarrow y=2$

Se cortan, pues, en $(-3,-6)$ y $(1,2)$. Evaluando en un punto intermedio se ve cuál va por encima:

$\text{Si }x=0:3>0$

La región está limitada por arriba por la parábola $y=3-x^2$ y por abajo por la recta $y=2x$, entre las abscisas $x=-3$ y $x=1$.



$\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea.}}$

El área se obtiene integrando entre las abscisas de los cortes la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo, y aplicando la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_{-3}^1[(3-x^2)-2x]dx={\int }_{-3}^1(3-x^2-2x)dx$

$={[3x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2]}_{-3}^1$

$=(3-{\displaystyle \frac{1}{3}}-1)-(-9+9-9)$

$={\displaystyle \frac{5}{3}}+9={\displaystyle \frac{5+27}{3}}={\displaystyle \frac{32}{3}}$

El área de la región es de ${\displaystyle \frac{32}{3}}$ unidades de área.