Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

4. Análisis:

a) Calcule mediante cambio de variable las integrales ${\displaystyle \int (\sin x{)}^5\cos xdx}$ y ${\displaystyle \int (\ln x)\mathrm{/}xdx}$.
b) Calcule ${\displaystyle \int (\ln x)\mathrm{/}xdx}$ empleando el método de integración por partes. Luego, obtenga algún valor de $B$ tal que ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{e}}^B(\ln x)\mathrm{/}xdx=3\mathrm{/}2}$.

En la primera, el factor $\cos x$ es precisamente la derivada de $\sin x$, lo que sugiere el cambio.

$\int (\sin x{)}^5\cos xdx\{\begin{array}{l}t=\sin x\\ dt=\cos xdx\end{array}$

$\int (\sin x{)}^5\cos xdx=\int t^{5}dt={\displaystyle \frac{t^6}{6}}+C={\displaystyle \frac{(\sin x{)}^6}{6}}+C$

En la segunda, el factor $\frac{1}{x}$ es la derivada de $\ln x$.

$\int {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}dx\{\begin{array}{l}t=\ln x\\ dt={\displaystyle \frac{dx}{x}}\end{array}$

$\int {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}dx=\int tdt={\displaystyle \frac{t^2}{2}}+C={\displaystyle \frac{(\ln x{)}^2}{2}}+C$



Llamamos $I$ a la integral y elegimos las partes de modo que reaparezca ella misma.

$I=\int {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}dx\{\begin{array}{ll}u=\ln x& du={\displaystyle \frac{dx}{x}}\\ dv={\displaystyle \frac{dx}{x}}& v=\ln x\end{array}$

$I=(\ln x{)}^2-\int {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}dx=(\ln x{)}^2-I$

$2I=(\ln x{)}^2\Rightarrow I={\displaystyle \frac{(\ln x{)}^2}{2}}+C$

que coincide, como debía, con lo obtenido por cambio de variable.

Aplicamos ahora la regla de Barrow entre $e$ y $B$:

${\int }_e^B{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}dx={\left[{\displaystyle \frac{(\ln x{)}^2}{2}}\right]}_e^B={\displaystyle \frac{(\ln B{)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{(\ln e{)}^2}{2}}={\displaystyle \frac{(\ln B{)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \frac{(\ln B{)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow (\ln B{)}^2=4\Rightarrow \ln B=\pm 2$

$\{\begin{array}{l}\ln B=2\Rightarrow B=e^2\\ \ln B=-2\Rightarrow B=e^{-2}\end{array}$

Los dos valores son válidos, ya que ambos son positivos y están en el dominio del integrando; el enunciado pide únicamente alguno, así que basta con $B=e^2\approx \mathrm{7,39}$.