Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas II · Aragón · 2021

Sean los siguientes vectores:

${\vec{u}}_1=(-1,1,1),{\vec{u}}_2=(0,3,1),{\vec{u}}_3=(1,-2,0),{\vec{u}}_4=(-2,0,1)$

a) Compruebe si los vectores $\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_3\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo:

${\vec{v}}_1=2{\vec{u}}_1-{\vec{u}}_2,{\vec{v}}_2={\vec{u}}_1+{\vec{u}}_3,{\vec{v}}_3={\vec{u}}_4$

[1 punto]

b) Calcule las siguientes expresiones:

$(2{\vec{u}}_1-{\vec{u}}_2)\cdot (2{\vec{u}}_1-{\vec{u}}_2),({\vec{u}}_4-{\vec{u}}_1)\times ({\vec{u}}_4-{\vec{u}}_1)$

siendo $\cdot$ y $\times$ los productos escalar y vectorial de dos vectores respectivamente. [1 punto]

Se calculan primero las coordenadas de los tres vectores y después se estudia el rango de la matriz que forman: si el determinante no se anula son independientes.

${\vec{v}}_1=2{\vec{u}}_1-{\vec{u}}_2=2(-1,1,1)-(0,3,1)=(-2,2,2)-(0,3,1)=(-2,-1,1)$

${\vec{v}}_2={\vec{u}}_1+{\vec{u}}_3=(-1,1,1)+(1,-2,0)=(0,-1,1)$

${\vec{v}}_3={\vec{u}}_4=(-2,0,1)$

$\mid \begin{array}{ccc}-2& -1& 1\\ 0& -1& 1\\ -2& 0& 1\end{array}\mid =2+2+0-2-0-0=2$

$\mid \begin{array}{ccc}-2& -1& 1\\ 0& -1& 1\\ -2& 0& 1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_3\}=3$

Los tres vectores son linealmente independientes y, por ser tres vectores independientes del espacio, forman una base.



Los dos productos tienen el mismo vector en los dos factores, así que conviene reconocer qué significa cada uno antes de operar.

El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo. El vector en cuestión es el ${\vec{v}}_1$ del apartado anterior:

$(2{\vec{u}}_1-{\vec{u}}_2)\cdot (2{\vec{u}}_1-{\vec{u}}_2)={\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_1={\mid {\vec{v}}_1\mid }^2$

$=(-2{)}^2+(-1{)}^2+1^2=4+1+1=6$

El producto vectorial de un vector por sí mismo es el vector nulo, porque los dos factores son paralelos y el paralelogramo que determinan es degenerado. No hace falta ni calcular el vector:

$({\vec{u}}_4-{\vec{u}}_1)\times ({\vec{u}}_4-{\vec{u}}_1)=\vec{0}=(0,0,0)$

Lo confirma el determinante, que tiene dos filas iguales:

${\vec{u}}_4-{\vec{u}}_1=(-2,0,1)-(-1,1,1)=(-1,-1,0)\Rightarrow \mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -1& 0\\ -1& -1& 0\end{array}\mid =\vec{0}$

El primer producto vale 6 y el segundo es el vector nulo.