Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas II · Galicia · 2025

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 3.1. o 3.2.

3.1. Responda a las dos cuestiones siguientes:

3.1.1. Enuncie el teorema del valor medio del cálculo diferencial.

3.1.2. Calcule ${\displaystyle \int e^x\cos 3xdx}$.

3.2. Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{lcl}x{e}^{4x}& \text{si}& x<0\\ {\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{1+x}}& \text{si}& x\ge 0\end{array}$, se pide responder a las siguientes cuestiones:

3.2.1. Estudie la continuidad de la función $f(x)$ en $x=0$.

3.2.2. Estudie la derivabilidad de la función $f(x)$ en $x=0$.

3.2.3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)$ en $x=-1$.

El examen permite elegir entre el apartado 3.1 y el 3.2; se resuelven los dos.

$\mathbf{\text{3.1.1.}}\mathbf{\text{Enuncie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculo}}\mathbf{\text{diferencial.}}$

El teorema del valor medio, o teorema de Lagrange, afirma lo siguiente: si una función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en el abierto $(a,b)$, entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ tal que

$f^{\mathrm{\prime }}(c)={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Geométricamente significa que hay al menos un punto interior del intervalo en el que la recta tangente a la gráfica es paralela a la cuerda que une los extremos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$. El teorema de Rolle es el caso particular en que $f(a)=f(b)$, en el que la tangente resulta horizontal.



Es una integral cíclica: se resuelve integrando por partes dos veces hasta que reaparece la integral de partida, y se despeja entonces como si fuese una incógnita. Llamamos $I$ a la integral pedida.

$I=\int e^x\cos 3xdx\{\begin{array}{ll}u=\cos 3x& du=-3\sin 3xdx\\ dv=e^{x}dx& v=e^x\end{array}$

$I=e^x\cos 3x+3\int e^x\sin 3xdx$

Integramos por partes la nueva integral, manteniendo el mismo criterio de elección.

$\int e^x\sin 3xdx\{\begin{array}{ll}u=\sin 3x& du=3\cos 3xdx\\ dv=e^{x}dx& v=e^x\end{array}$

$\int e^x\sin 3xdx=e^x\sin 3x-3\int e^x\cos 3xdx=e^x\sin 3x-3I$

Sustituimos y despejamos $I$:

$I=e^x\cos 3x+3(e^x\sin 3x-3I)=e^x\cos 3x+3e^x\sin 3x-9I$

$10I=e^x(\cos 3x+3\sin 3x)\Rightarrow I={\displaystyle \frac{e^x(\cos 3x+3\sin 3x)}{10}}$

Finalmente, ${\displaystyle \int e^x\cos 3xdx={\displaystyle \frac{e^x(\cos 3x+3\sin 3x)}{10}}+C}$.



Las dos ramas son continuas en su tramo —un producto de polinomio por exponencial la primera, y un cociente de funciones continuas con denominador no nulo para $x\ge 0$ la segunda—, así que el único punto dudoso es el empalme. Calculamos los dos límites laterales y el valor de la función.

$f(0)={\displaystyle \frac{\ln (1+0)}{1+0}}={\displaystyle \frac{\ln 1}{1}}={\displaystyle \frac{0}{1}}=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}x{e}^{4x}=0\cdot e^0=0\cdot 1=0$

${\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{1+x}}={\displaystyle \frac{\ln 1}{1}}=0$

Los dos límites laterales existen, coinciden y valen $f(0)$, luego $f$ es continua en $x=0$.



Al ser continua en $x=0$, tiene sentido comparar las derivadas laterales. Derivamos cada rama: la primera como un producto y la segunda como un cociente.

${\left(x{e}^{4x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=e^{4x}+x\cdot 4e^{4x}=e^{4x}(1+4x)$

${\left({\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{1+x}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\frac{1}{1+x}(1+x)-\ln (1+x)}{(1+x{)}^2}}={\displaystyle \frac{1-\ln (1+x)}{(1+x{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{4x}(1+4x)& \text{si }x<0\\ {\displaystyle \frac{1-\ln (1+x)}{(1+x{)}^2}}& \text{si }x>0\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})=e^0(1+0)=1$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})={\displaystyle \frac{1-\ln 1}{1^2}}={\displaystyle \frac{1-0}{1}}=1$

Las dos derivadas laterales existen y coinciden, luego $f$ es derivable en $x=0$ y $f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$.



Como $-1<0$, trabajamos con la primera rama, $f(x)=x{e}^{4x}$, y usamos la derivada ya obtenida.

$f(-1)=-1\cdot e^{-4}=-e^{-4}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=e^{-4}(1+4(-1))=-3e^{-4}$

Aplicamos la ecuación punto-pendiente de la recta tangente:

$y-f(-1)=f^{\mathrm{\prime }}(-1)(x-(-1))\Rightarrow y+e^{-4}=-3e^{-4}(x+1)$

$y=-3e^{-4}x-3e^{-4}-e^{-4}\Rightarrow y=-3e^{-4}x-4e^{-4}$

La recta tangente pedida es $y=-e^{-4}(3x+4)$, o aproximadamente $y=-\mathrm{0,0549}x-\mathrm{0,0733}$.