Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 4. GEOMETRÍA. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Considérense los planos $\pi :2x+3y+z+1=0$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:x+z-1=0$ y los puntos $A(2,1,0)$ y $B(-1,-2,3)$.

4.1.1. Calcule la distancia del punto $A$ al plano paralelo a $\pi$ que pasa por $B$.

4.1.2. Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$.

4.2. Dadas las rectas $r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-2}{-1}}={\displaystyle \frac{z-1}{1}}$ y $s:{\displaystyle \frac{x-2}{4}}={\displaystyle \frac{y-1}{-2}}={\displaystyle \frac{z-1}{2}}$.

4.2.1. Calcule la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

4.2.2. Obtenga la ecuación del plano que contiene a las rectas $r$ y $s$.

El examen permite elegir entre el apartado 4.1 y el 4.2; se resuelven los dos.

$\mathbf{\text{4.1.1.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}$

Construimos primero ese plano, al que llamamos $\sigma$. Al ser paralelo a $\pi :2x+3y+z+1=0$ comparte con él el vector normal, y solo cambia el término independiente.

${\vec{n}}_{\sigma }={\vec{n}}_{\pi }=(2,3,1)\Rightarrow \sigma :2x+3y+z+D=0$

Imponemos que $B$ pertenezca a $\sigma$:

$B(-1,-2,3)\in \sigma \Rightarrow 2(-1)+3(-2)+3+D=0\Rightarrow -2-6+3+D=0\Rightarrow D=5$

$\sigma :2x+3y+z+5=0$

Aplicamos ahora la fórmula de la distancia de un punto a un plano con $A(2,1,0)$.

$d(A,\sigma )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 2+3\cdot 1+0+5\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+3^2+1^2}}}$

$d(A,\sigma )={\displaystyle \frac{12}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{12\sqrt{14}}{14}}={\displaystyle \frac{6\sqrt{14}}{7}}\approx \mathrm{3,21}\text{ u}$

La distancia del punto $A$ al plano paralelo a $\pi$ que pasa por $B$ es ${\displaystyle \frac{6\sqrt{14}}{7}}$ unidades de longitud.



La recta intersección viene dada por el sistema formado por las dos ecuaciones, que resolvemos dejando una incógnita libre.

$\{\begin{array}{l}2x+3y+z+1=0\\ x+z-1=0\end{array}$

De la segunda ecuación despejamos $z$:

$z=1-x$

y sustituimos en la primera:

$2x+3y+(1-x)+1=0\Rightarrow x+3y+2=0\Rightarrow x=-3y-2$

Tomamos $y=\lambda$ como parámetro y arrastramos el valor de $x$ a la expresión de $z$:

$z=1-(-3\lambda -2)=3\lambda +3$

$r:\{\begin{array}{l}x=-2-3\lambda \\ y=\lambda \\ z=3+3\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

La recta pasa por $(-2,0,3)$ y tiene por vector director $(-3,1,3)$.

$\mathbf{\text{4.2.1.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}$

De las ecuaciones continuas leemos un punto y un vector director de cada recta.

$r:P_r(1,2,1),{\vec{v}}_r=(2,-1,1)s:P_s(2,1,1),{\vec{v}}_s=(4,-2,2)$

Comparamos primero los vectores directores:

${\displaystyle \frac{4}{2}}={\displaystyle \frac{-2}{-1}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2\Rightarrow {\vec{v}}_s=2{\vec{v}}_r$

Son proporcionales, así que las rectas son paralelas o coincidentes. Para distinguir los dos casos comprobamos si el vector que une los dos puntos lleva también esa dirección.

$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(2,1,1)-(1,2,1)=(1,-1,0)$

${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{-1}{-1}}$

No es proporcional a ${\vec{v}}_r$, luego $P_s$ no pertenece a $r$ y las rectas no son coincidentes. Las rectas $r$ y $s$ son, por tanto, paralelas y distintas.

$\mathbf{\text{4.2.2.}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}$

Por ser paralelas y distintas, las dos rectas determinan un único plano. Lo construimos con el punto $P_r$ y dos vectores directores independientes: ${\vec{v}}_r$ y $\overrightarrow{P_r{P}_s}$, ambos ya calculados.

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{P_r{P}_s}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\mid =(1,1,-1)$

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,-1)\Rightarrow \pi :x+y-z+D=0$

$P_r(1,2,1)\in \pi \Rightarrow 1+2-1+D=0\Rightarrow D=-2$



Finalmente, $\pi :x+y-z-2=0$. Se comprueba que $P_s$ también lo verifica: $2+1-1-2=0$.