Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Considere el punto $P=(1,3,0)$ y el plano $\pi$ de ecuación $x+2y-2z=-7$.

a) Sea $r$ la recta que es perpendicular a $\pi$ y pasa por $P$. Calcule el punto de intersección de $\pi$ con $r$. [1 punto]
b) Calcule la distancia $d$ del punto $P$ al plano $\pi$. [0,5 puntos]
c) Calcule la ecuación de otro plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ que sea paralelo a $\pi$ y que también esté a distancia $d$ de $P$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sea}}\mathit{r}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{con}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Que la recta sea perpendicular al plano significa que su vector director es el vector normal del plano. Escribimos primero el plano con el término independiente en el primer miembro.

$\pi :x+2y-2z+7=0\Rightarrow {\vec{n}}_{\pi }=(1,2,-2)$

$r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=3+2\lambda \\ z=-2\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$





Para hallar la intersección sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ en la del plano y despejamos el parámetro.

$(1+\lambda )+2(3+2\lambda )-2(-2\lambda )+7=0$

$1+\lambda +6+4\lambda +4\lambda +7=0\Rightarrow 9\lambda +14=0\Rightarrow \lambda =-{\displaystyle \frac{14}{9}}$

$x=1-{\displaystyle \frac{14}{9}}=-{\displaystyle \frac{5}{9}},y=3-{\displaystyle \frac{28}{9}}=-{\displaystyle \frac{1}{9}},z={\displaystyle \frac{28}{9}}$

El punto de intersección de $\pi$ con $r$ es $R(-{\displaystyle \frac{5}{9}},-{\displaystyle \frac{1}{9}},{\displaystyle \frac{28}{9}})$, que es el pie de la perpendicular trazada desde $P$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathit{d}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d=d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+2\cdot 3-2\cdot 0+7\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }14\mathrm{\mid }}{\sqrt{9}}}={\displaystyle \frac{14}{3}}\approx \mathrm{4,67}\text{ u}$

También se puede obtener como la distancia de $P$ al punto $R$ del apartado anterior, y sale el mismo valor.

La distancia del punto $P$ al plano $\pi$ es $d={\displaystyle \frac{14}{3}}$ unidades.












Dos planos paralelos tienen el mismo vector normal, así que ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ solo puede diferir de $\pi$ en el término independiente. Imponemos después la condición de la distancia.

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:x+2y-2z+D=0$

$d(P,{\pi }^{\mathrm{\prime }})={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+6-0+D\mathrm{\mid }}{3}}={\displaystyle \frac{14}{3}}\Rightarrow \mathrm{\mid }7+D\mathrm{\mid }=14$





$7+D=14\Rightarrow D=7\text{o}7+D=-14\Rightarrow D=-21$

La solución $D=7$ es el propio plano $\pi$ y se descarta, porque el enunciado pide otro plano.

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:x+2y-2z-21=0$

El plano pedido es ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:x+2y-2z-21=0$: es el simétrico de $\pi$ respecto de $P$, de modo que $P$ queda justo a mitad de camino entre los dos.