Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere el punto $P=(-1,3,1)$, el plano $\pi :x=y$ y la recta $r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}=z-2$.

a) Encuentre las coordenadas del punto $P^{\mathrm{\prime }}$ simétrico a $P$ respecto al plano $\pi$. [1,25 puntos]
b) De todos los planos que contienen la recta $r$, encuentre la ecuación cartesiana del que es perpendicular al plano $\pi$. [1,25 puntos]

El simétrico se construye en tres pasos: se traza la recta perpendicular al plano por $P$, se corta con el plano y se impone que ese corte sea el punto medio del segmento.

i) Construimos la recta $s$ perpendicular a $\pi$ por $P$, cuyo vector director es el normal del plano.

$\pi :x-y=0\Rightarrow {\vec{n}}_{\pi }=(1,-1,0)$

$s:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=3-t\\ z=1\end{array}t\in \mathbb{R}$





ii) Calculamos $M$, la intersección de $s$ con $\pi$.

$(-1+t)-(3-t)=0\Rightarrow 2t-4=0\Rightarrow t=2$

$M(-1+2,3-2,1)=M(1,1,1)$

iii) Basta razonar que $M$ es el punto medio del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$, de donde se despeja $P^{\mathrm{\prime }}$.

$M=({\displaystyle \frac{-1+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{3+P_y^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{1+P_z^{\mathrm{\prime }}}{2}})=(1,1,1)$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{-1+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2}}=1\Rightarrow P_x^{\mathrm{\prime }}=3\\ {\displaystyle \frac{3+P_y^{\mathrm{\prime }}}{2}}=1\Rightarrow P_y^{\mathrm{\prime }}=-1\\ {\displaystyle \frac{1+P_z^{\mathrm{\prime }}}{2}}=1\Rightarrow P_z^{\mathrm{\prime }}=1\end{array}$

El simétrico de $P$ respecto del plano $\pi$ es $P^{\mathrm{\prime }}(3,-1,1)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{planos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contienen}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{encuentre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cartesiana}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Leemos de la ecuación continua un punto y el vector director de la recta.

$r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}\Rightarrow P_0(1,0,2),{\vec{v}}_r=(2,3,1)$

El plano que buscamos, $\sigma$, contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. Su vector normal ha de ser perpendicular al vector director de la recta (porque la recta está dentro del plano) y perpendicular al normal de $\pi$ (porque los dos planos son perpendiculares). Un vector con las dos condiciones es el producto vectorial de ambos.

${\vec{n}}_{\sigma }={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 3& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\mid =(1,1,-5)$

$\sigma :x+y-5z+D=0$

$P_0(1,0,2)\in \sigma \Rightarrow 1+0-10+D=0\Rightarrow D=9$

$\sigma :x+y-5z+9=0$

Comprobamos las dos condiciones: ${\vec{n}}_{\sigma }\cdot {\vec{n}}_{\pi }=1-1+0=0$, luego los planos son perpendiculares, y ${\vec{n}}_{\sigma }\cdot {\vec{v}}_r=2+3-5=0$, luego la recta es paralela a $\sigma$ y, al pasar por un punto suyo, está contenida en él.

El plano pedido es $\sigma :x+y-5z+9=0$.