Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

a) Calcule la ecuación general del plano $\pi$ que pasa por el punto $(8,8,8)$ y tiene como vectores directores $\vec{u}=(1,2,-3)$ y $\vec{v}=(-1,0,3)$. [1,25 puntos]
b) Determine el valor del parámetro $a$ para que el punto $(1,-5,a)$ pertenezca al plano $\pi$ y calcule la ecuación paramétrica de la recta que pasa por este punto y es perpendicular al plano $\pi$. [1,25 puntos]

Un vector normal del plano es perpendicular a sus dos vectores directores, así que lo obtenemos como producto vectorial de ambos.

${\vec{n}}_{\pi }=\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& -3\\ -1& 0& 3\end{array}\mid =(6,0,2)$

Los vectores normales se pueden simplificar dividiendo por 2.

${\vec{n}}_{\pi }=(3,0,1)\Rightarrow \pi :3x+0\cdot y+z+D=0$

$(8,8,8)\in \pi \Rightarrow 24+0+8+D=0\Rightarrow D=-32$

$\pi :3x+z-32=0$

La ecuación general del plano es $\pi :3x+z-32=0$.



Que el punto pertenezca al plano significa que sus coordenadas satisfacen la ecuación.

$3\cdot 1+a-32=0\Rightarrow a-29=0\Rightarrow a=29$

$Q(1,-5,29)$

Obsérvese que la ecuación del plano no contiene $y$, de modo que la segunda coordenada del punto no interviene.

La recta perpendicular al plano tiene por vector director el vector normal de $\pi$.

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_{\pi }=(3,0,1)$

$r:\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-5\\ z=29+t\end{array}t\in \mathbb{R}$

El punto es $(1,-5,29)$, es decir, $a=29$, y la recta perpendicular al plano por él es la anterior.