Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Pregunta 3.2. Dados los puntos $A(0,0,1)$ y $B(1,0,1)$, se pide:

a) (1 punto) Hallar una ecuación del plano paralelo al eje $OZ$ y que pasa por los puntos $A$ y $B$.

b) (1.5 puntos) Hallar una ecuación de una recta perpendicular al plano $z=1$ que diste una unidad tanto del punto $A$ como del punto $B$.

Un plano paralelo al eje $OZ$ lleva la dirección $(0,0,1)$; si además pasa por $A$ y $B$, lleva también la de $\overrightarrow{AB}$. Su vector normal es el producto vectorial de las dos.

$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times (0,0,1)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =(0,-1,0)$

Imponemos que pase por $A(0,0,1)$.

$-1(y-0)=0\Rightarrow y=0$

El plano pedido es $y=0$, es decir, el plano $OXZ$, que contiene efectivamente a los dos puntos y al eje $OZ$.



Una recta perpendicular al plano $z=1$ tiene por director su normal, $(0,0,1)$, así que queda determinada por el punto en que lo corta.

$r\equiv (x,y,z)=(x_0,y_0,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Como $A$ y $B$ están justamente en el plano $z=1$, sus distancias a $r$ se miden dentro de ese plano y se reducen a distancias entre puntos. Lo comprobamos con la fórmula general.

$d(A,r)={\displaystyle \frac{\mid \vec{v}\times \overrightarrow{PA}\mid }{\mid \vec{v}\mid }}=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=1$

$d(B,r)=\sqrt{(x_0-1{)}^2+y_0^2}=1$

Restamos las dos ecuaciones elevadas al cuadrado, con lo que desaparece $y_0$.

$(x_0-1{)}^2-x_0^2=0\Rightarrow -2x_0+1=0\Rightarrow x_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$y_0^2=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow y_0=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$



Hay dos rectas que cumplen lo pedido, simétricas respecto del plano $y=0$; basta dar una de ellas.

$r_1\equiv ({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},\lambda ),r_2\equiv ({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},\lambda )$