Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Sean $P=(-1,1,1)$, $Q=(7,1,7)$ y $R=(-4,1,5)$ puntos de ${\mathbb{R}}^3$.

a) Demuestre que los tres puntos forman un triángulo rectángulo. Indique cuál de los 3 ángulos es recto. [3 puntos]

b) ¿Se podría construir un cuadrado añadiendo un único vértice nuevo? Justifique la respuesta. [3 puntos]

c) Pruebe que, para cualquier valor de $a$ real, el punto $S=(a,1,0)$ es coplanario con $P$, $Q$ y $R$. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{forman}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{3}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{recto.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un triángulo es rectángulo cuando dos de sus lados son perpendiculares, y dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar se anula. Calculamos los vectores que salen de cada vértice y probamos.

$\overrightarrow{PQ}=(7,1,7)-(-1,1,1)=(8,0,6)$

$\overrightarrow{PR}=(-4,1,5)-(-1,1,1)=(-3,0,4)$

$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}=8\cdot (-3)+0\cdot 0+6\cdot 4=-24+24=0$

El producto escalar es nulo, luego los lados $PQ$ y $PR$ son perpendiculares. Los tres puntos forman, pues, un triángulo rectángulo y el ángulo recto está en el vértice $P$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{construir}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{adiendo}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathbf{\text{nuevo?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para que $P$, $Q$, $R$ y un cuarto punto formen un cuadrado harían falta dos condiciones: que los lados que salen del vértice recto sean perpendiculares —que ya lo son— y que además midan lo mismo. Medimos, pues, los dos catetos.

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }=\sqrt{8^2+0^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}\mathrm{\mid }=\sqrt{(-3{)}^2+0^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

$10\mathrm{\ne }5$

No, no se podría. Los dos lados que concurren en el ángulo recto miden 10 y 5 unidades, y un cuadrado exige que sean iguales; añadiendo un cuarto vértice solo se obtiene un rectángulo, nunca un cuadrado.



Basta escribir el plano que determinan los tres puntos y comprobar que $S$ lo verifica sea cual sea $a$. Obtenemos un vector normal con el producto vectorial de las dos direcciones del apartado a).

$\vec{n}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 8& 0& 6\\ -3& 0& 4\end{array}\mid =(0,-50,0)$

El vector normal solo tiene componente en $y$, así que el plano es horizontal en esa dirección. Imponiendo que pase por $P(-1,1,1)$:

$-50(y-1)=0\Rightarrow \pi :y=1$

Sustituimos ahora el punto $S(a,1,0)$:

$y_S=1$

La segunda coordenada de $S$ vale 1 cualquiera que sea $a$, de modo que $S$ pertenece al plano $\pi :y=1$ para todo valor real de $a$: los tres puntos de partida están todos a la misma altura $y=1$ y $S$ también.