Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Sea la recta $r$ definida por la expresión siguiente:

$r:\{\begin{array}{l}x=2+\lambda \\ y=-1+3\lambda \\ z=3+\lambda \end{array}$

a) Determine la posición relativa de la recta $r$ respecto al plano $\pi :x-2y+4z-4=0$. Si es paralela, calcule la distancia de $r$ a $\pi$, y si es secante, calcule el punto de corte. [1,25 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta $s$ perpendicular al plano $\pi$ y que corta la recta $r$ en un punto $P$, cuya primera coordenada es 5 veces mayor que la segunda. [1,25 puntos]

La posición relativa se decide comparando el vector director de la recta con el vector normal del plano: si son perpendiculares, la recta es paralela al plano o está contenida en él; si no, la recta lo corta.

${\vec{v}}_r=(1,3,1),{\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,4)$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=1\cdot 1+3\cdot (-2)+1\cdot 4=1-6+4=-1\mathrm{\ne }0$





El producto escalar no es nulo, luego la recta y el plano son secantes y hay que calcular el punto de corte. Sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ en la ecuación de $\pi$.

$(2+\lambda )-2(-1+3\lambda )+4(3+\lambda )-4=0$

$2+\lambda +2-6\lambda +12+4\lambda -4=0\Rightarrow -\lambda +12=0\Rightarrow \lambda =12$

$x=2+12=14,y=-1+36=35,z=3+12=15$

Comprobamos que el punto está en el plano: $14-70+60-4=0$.

La recta $r$ y el plano $\pi$ son secantes y se cortan en el punto $(14,35,15)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{coordenada}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

De la recta $s$ ya conocemos la dirección: por ser perpendicular al plano, su vector director es el vector normal de $\pi$.

${\vec{v}}_s={\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,4)$

Falta el punto $P$, que está sobre $r$ y cumple $x=5y$. Imponemos esa condición sobre las coordenadas paramétricas de $r$.

$2+\lambda =5(-1+3\lambda )\Rightarrow 2+\lambda =-5+15\lambda \Rightarrow 7=14\lambda \Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$x=2+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}},y=-1+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}},z=3+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$

$P({\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{7}{2}}),\text{y en efecto }{\displaystyle \frac{5}{2}}=5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}$

$s:\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{5}{2}}+t\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}-2t\\ z={\displaystyle \frac{7}{2}}+4t\end{array}t\in \mathbb{R}$

La recta pedida es $s$, que pasa por $P(\frac{5}{2},\frac{1}{2},\frac{7}{2})$ y tiene vector director $(1,-2,4)$.