Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean $r_1$ y $r_2$ las rectas definidas por $r_1:x-1=y=-z$ y por $r_2:x=y=z$, respectivamente.

a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que corta perpendicularmente las rectas $r_1$ y $r_2$. [1,75 puntos]
b) Calcule la distancia entre $r_1$ y $r_2$. [0,75 puntos]

Escribimos cada recta con un punto y un vector director, leyéndolos de sus ecuaciones continuas.

$r_1:{\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z}{-1}}\Rightarrow P_1(1,0,0),{\vec{v}}_1=(1,1,-1)$

$r_2:{\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z}{1}}\Rightarrow P_2(0,0,0),{\vec{v}}_2=(1,1,1)$





La perpendicular común tiene que ser perpendicular a los dos vectores directores, así que su vector director es el producto vectorial de ambos.

$\vec{w}={\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =(2,-2,0)$

Como los vectores directores se pueden simplificar, tomamos $\vec{w}=(1,-1,0)$.

La construimos como intersección de dos planos: el plano $\alpha$ que contiene a $r_1$ y a la dirección $\vec{w}$, y el plano $\beta$ que contiene a $r_2$ y a esa misma dirección. La perpendicular común está en los dos.

${\vec{n}}_{\alpha }={\vec{v}}_1\times \vec{w}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\mid =(-1,-1,-2)$

$\alpha :-(x-1)-y-2z=0\Rightarrow x+y+2z-1=0$

${\vec{n}}_{\beta }={\vec{v}}_2\times \vec{w}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\mid =(1,1,-2)$

$\beta :x+y-2z=0$

Resolvemos el sistema formado por los dos planos. Restando la segunda ecuación de la primera se elimina $x+y$:

$4z-1=0\Rightarrow z={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow x+y=2z={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$s:\{\begin{array}{l}x=\mu \\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}-\mu \\ z={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\mu \in \mathbb{R}$

Los pies de la perpendicular se obtienen imponiendo $z=\frac{1}{4}$ en cada recta: en $r_2$ sale $(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$ y en $r_1$, $(\frac{3}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$; los dos cumplen $x+y=\frac{1}{2}$, como debe ser.

La recta que corta perpendicularmente a $r_1$ y $r_2$ es $s$, que pasa por $(0,\frac{1}{2},\frac{1}{4})$ y tiene vector director $(1,-1,0)$.



Las dos rectas se cruzan, así que su distancia es la longitud del segmento de perpendicular común, que se calcula con el producto mixto.

$\overrightarrow{P_1{P}_2}=(0,0,0)-(1,0,0)=(-1,0,0)$

$d(r_1,r_2)={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot ({\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2)\mid }{\mid {\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2\mid }}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }(-1,0,0)\cdot (2,-2,0)\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }(2,-2,0)\mathrm{\mid }}}$

$d(r_1,r_2)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+0^2}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{8}}}={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

El mismo valor se obtiene midiendo el segmento entre los dos pies del apartado anterior:

$\mid ({\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}},-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}},0)\mid =\mid ({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\mid =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

La distancia entre las dos rectas es ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{0,71}$ unidades.