Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Considere los puntos $A=(1,2,3)$ y $B=(-3,-2,3)$.

a) Calcule la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $AB$ y que pasa por el punto medio entre $A$ y $B$. Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos $P=(x,y,z)$ que están a igual distancia de $A$ que de $B$, es decir, $d(P,A)=d(P,B)$. [1 punto]
b) Calcule las distancias de $A$ y de $B$ al plano $\pi$ y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta. [0,75 puntos]
c) Sea $C=(-7,6,3)$. ¿El triángulo $ABC$ es isósceles? Calcule su área. [0,75 puntos]

Que el plano sea perpendicular a la recta $AB$ significa que $\overrightarrow{AB}$ es un vector normal de $\pi$; el punto por el que pasa es el punto medio de $A$ y $B$.

$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3-1,-2-2,3-3)=(-4,-4,0)$

$M=({\displaystyle \frac{1-3}{2}},{\displaystyle \frac{2-2}{2}},{\displaystyle \frac{3+3}{2}})=(-1,0,3)$





Como los vectores normales se pueden simplificar, tomamos ${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,0)$, proporcional a $\overrightarrow{AB}$.

$\pi :x+y+0\cdot z+D=0$

$M(-1,0,3)\in \pi \Rightarrow -1+0+D=0\Rightarrow D=1$

$\pi :x+y+1=0$

Justifiquemos ahora que ese plano es exactamente el conjunto de puntos equidistantes de $A$ y de $B$. Imponemos la condición y elevamos al cuadrado, que es una transformación válida por ser ambas distancias no negativas.

$d(P,A)=d(P,B)\Rightarrow (x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=(x+3{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2$

$x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2+6x+9+y^2+4y+4$

$-2x-4y+5=6x+4y+13\Rightarrow -8x-8y-8=0\Rightarrow x+y+1=0$

Se obtiene la ecuación de $\pi$, luego el plano pedido es $\pi :x+y+1=0$ y está formado precisamente por los puntos que equidistan de $A$ y de $B$; es el plano mediador del segmento $\overline{AB}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{distancias}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathit{B}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{iguales.}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{casualidad?}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+2+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}\text{ u}$

$d(B,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-3-2+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}\text{ u}$

No es casualidad. El plano $\pi$ es perpendicular a $AB$, de modo que el pie de la perpendicular trazada desde $A$ y el trazado desde $B$ es el mismo punto: el punto medio $M$. Las dos distancias valen, por tanto, la mitad de la longitud del segmento.

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{(-4{)}^2+(-4{)}^2+0^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\Rightarrow d(A,\pi )=d(B,\pi )={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$

Las dos distancias valen $2\sqrt{2}$ unidades y coinciden porque $\pi$ es el plano mediador de $\overline{AB}$.



Un triángulo es isósceles si dos de sus lados miden lo mismo, así que calculamos los tres vectores lado y sus módulos.

$\overrightarrow{AB}=(-4,-4,0),\overrightarrow{AC}=(-8,4,0),\overrightarrow{BC}=(-4,8,0)$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{16+16+0}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\sqrt{64+16+0}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}\mathrm{\mid }=\sqrt{16+64+0}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

Como $\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}\mathrm{\mid }$, el triángulo es isósceles. Era previsible: $C$ cumple $-7+6+1=0$, es decir, pertenece al plano $\pi$, y por el apartado a) todos sus puntos equidistan de $A$ y de $B$.

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -4& -4& 0\\ -8& 4& 0\end{array}\mid =(0,0,-16-32)=(0,0,-48)$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\sqrt{0^2+0^2+(-48{)}^2}=48$

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 48=24{\text{u}}^2$

El triángulo $ABC$ es isósceles, con los lados $AC$ y $BC$ iguales, y su área es de 24 unidades cuadradas.