Examen de Matemáticas II de Cataluña 2024 (convocatoria ordinaria)

Considere la función $f(x)=2{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$, definida para $x>0$.

a) Estudie sus máximos y mínimos, y las zonas de crecimiento y de decrecimiento. [1 punto]
b) ¿Esta función tiene asíntotas? Haga un esbozo de su gráfica. [1 punto]
c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$. [0,5 puntos]

Considere el sistema de ecuaciones siguiente:

$\begin{array}{r}4x+2y-z=4\\ x-y+kz=3\\ 3x+3y=1\end{array}\}$

donde $k$ es un parámetro real.
a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $k$, y resuélvalo para $k=0$. [1 punto]
b) Resuelva el sistema para $k=-1$. [0,75 puntos]
c) Para $k=-1$, modifique la tercera ecuación de manera que el sistema resulte incompatible. Justifique la respuesta. [0,75 puntos]

Juan encuentra entre los papeles de su abuelo un esbozo como el de la figura adjunta, donde se describe un terreno de regadío que ha dejado en herencia a su padre.



La curva de la gráfica es $y=f(x)$, con $f(x)=-x^3+7x^2-6x+5$.
a) A partir de la expresión de $f(x)$, calcule las coordenadas de los puntos $P$, $Q$ y $R$ indicados en la figura. Calcule también la ecuación de la recta $PR$. [1,25 puntos]
b) Calcule la superficie del terreno. [1,25 puntos]

Andrés pone las nueve bolas que se muestran a continuación dentro de una bolsa.



a) A continuación, saca de la bolsa dos bolas al azar, una detrás de la otra y sin reemplazamiento (es decir, no devuelve a la bolsa la primera bola antes de sacar la segunda).
— Calcule la probabilidad de que la primera bola sea una A o una E. [0,5 puntos]
— Calcule la probabilidad de que las dos bolas sean diferentes. [0,75 puntos]
b) Andrés vuelve a poner todas las bolas en la bolsa y saca cinco al azar, una detrás de la otra, pero ahora con reemplazamiento (es decir, ahora sí que devuelve a la bolsa cada bola extraída antes de coger la siguiente).
— Calcule la probabilidad de que no haya sacado ninguna A. [0,5 puntos]
— Calcule la probabilidad de que haya sacado al menos dos A. [0,75 puntos]

Queremos construir un pequeño cobertizo de madera de $6{\mathrm{m}}^3$ de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, queremos que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de 30 € y el techo cuesta 50 € por metro cuadrado. Una vez construido el cobertizo, añadirle una puerta tiene un coste fijo de 35 €.



a) Compruebe que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función $C(x)={\displaystyle \frac{300}{x}}+150x^2+35$, donde $x$ es la profundidad del cobertizo en metros. [1,25 puntos]
b) Calcule cuáles han de ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifique la respuesta. ¿Cuál es este coste? [1,25 puntos]

Considere los puntos $A=(1,2,3)$ y $B=(-3,-2,3)$.

a) Calcule la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $AB$ y que pasa por el punto medio entre $A$ y $B$. Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos $P=(x,y,z)$ que están a igual distancia de $A$ que de $B$, es decir, $d(P,A)=d(P,B)$. [1 punto]
b) Calcule las distancias de $A$ y de $B$ al plano $\pi$ y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta. [0,75 puntos]
c) Sea $C=(-7,6,3)$. ¿El triángulo $ABC$ es isósceles? Calcule su área. [0,75 puntos]