Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Juan encuentra entre los papeles de su abuelo un esbozo como el de la figura adjunta, donde se describe un terreno de regadío que ha dejado en herencia a su padre.



La curva de la gráfica es $y=f(x)$, con $f(x)=-x^3+7x^2-6x+5$.
a) A partir de la expresión de $f(x)$, calcule las coordenadas de los puntos $P$, $Q$ y $R$ indicados en la figura. Calcule también la ecuación de la recta $PR$. [1,25 puntos]
b) Calcule la superficie del terreno. [1,25 puntos]

En la figura, $P$ y $Q$ están sobre la recta horizontal que corta al eje de ordenadas a la altura 5, y $R$ está sobre el eje de abscisas, en la misma vertical que $Q$. Empezamos identificando esa recta horizontal.

$f(0)=-0^3+7\cdot 0^2-6\cdot 0+5=5$

La recta horizontal es, por tanto, $y=5$. Los puntos $P$ y $Q$ son los otros dos cortes de la curva con esa recta.

$-x^3+7x^2-6x+5=5\Rightarrow -x^3+7x^2-6x=0\Rightarrow -x(x^2-7x+6)=0$

$x=0\text{o}{x}^2-7x+6=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{49-24}}{2}}={\displaystyle \frac{7\pm 5}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=6\end{array}$

La solución $x=0$ es el punto del eje de ordenadas que ya aparece rotulado en la figura; los que buscamos son los otros dos.

$P(1,5),Q(6,5)$

El punto $R$ tiene la abscisa de $Q$ y está sobre el eje $OX$, luego $R(6,0)$.

La recta $PR$ pasa por $P(1,5)$ y $R(6,0)$; calculamos su pendiente y aplicamos la ecuación punto-pendiente.

$m={\displaystyle \frac{0-5}{6-1}}={\displaystyle \frac{-5}{5}}=-1$

$y-5=-1(x-1)\Rightarrow y=6-x$

Los vértices del terreno son $P(1,5)$, $Q(6,5)$ y $R(6,0)$, y la recta $PR$ es $y=6-x$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{terreno.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El terreno está limitado por arriba por la curva $y=f(x)$ y por abajo por la recta $PR$, entre las abscisas $x=1$ y $x=6$; el lado $QR$ es el segmento vertical $x=6$, que queda recogido por los límites de integración. Como en $[1,6]$ la curva está por encima de la recta, el área es la integral de la diferencia.

$A={\int }_1^6[(-x^3+7x^2-6x+5)-(6-x)]dx={\int }_1^6(-x^3+7x^2-5x-1)dx$

$\int (-x^3+7x^2-5x-1)dx=-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{7x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}-x$

Aplicando la regla de Barrow:

$A={[-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{7x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}-x]}_1^6$

$A=(-324+504-90-6)-(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{7}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}-1)=84-(-{\displaystyle \frac{17}{12}})$

$A=84+{\displaystyle \frac{17}{12}}={\displaystyle \frac{1025}{12}}\approx \mathrm{85,42}\text{ u.a.}$

La superficie del terreno es ${\displaystyle \frac{1025}{12}}\approx \mathrm{85,42}$ unidades de área.