Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

La clase de Elia ha diseñado el logotipo siguiente para pintarlo en la pared del instituto:



La curva que pasa por el punto $A$ es $y=f(x)$, con $f(x)=x^3-4x^2+4x$, y la que pasa por los puntos $B$, $C=(3,3)$ y $D$ es $y=g(x)$, con $g(x)=-{\left({\displaystyle \frac{x-1}{2}}\right)}^2+4$.
a) Calcule las coordenadas de los puntos $A$, $B$ y $D$. [0,75 puntos]
b) Calcule el área de la zona punteada. [1,25 puntos]
c) Los alumnos quieren pintar la parte punteada de color azul y la parte rayada de color rojo. Sabiendo que el área total del logotipo es ${\displaystyle \frac{175}{12}}{\mathrm{m}}^2$, ¿de qué color necesitarán más pintura? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{D}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los tres puntos se leen en la figura: $A$ es el punto en que la curva $y=f(x)$ toca al eje de abscisas por la derecha, $B$ es el corte de $y=g(x)$ con el eje de ordenadas y $D$ es el corte de $y=g(x)$ con el eje de abscisas por la derecha.

$f(x)=x^3-4x^2+4x=x(x^2-4x+4)=x(x-2{)}^2$

$f(x)=0\Rightarrow x(x-2{)}^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2(\text{doble})\end{array}$

La raíz doble $x=2$ es la que corresponde a $A$, porque en ella la curva toca al eje sin atravesarlo, tal y como se ve en el logotipo.

$A(2,0)$

$B:x=0\Rightarrow g(0)=-{\left({\displaystyle \frac{0-1}{2}}\right)}^2+4=-{\displaystyle \frac{1}{4}}+4={\displaystyle \frac{15}{4}}\Rightarrow B(0,{\displaystyle \frac{15}{4}})$

$D:g(x)=0\Rightarrow {\left({\displaystyle \frac{x-1}{2}}\right)}^2=4\Rightarrow {\displaystyle \frac{x-1}{2}}=\pm 2\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=5\\ x=-3\end{array}$

Se descarta $x=-3$ porque queda a la izquierda del eje de ordenadas y en la figura $D$ está a la derecha.

$D(5,0)$

Los puntos pedidos son $A(2,0)$, $B(0,\frac{15}{4})$ y $D(5,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{punteada.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La zona punteada está limitada por arriba por la curva $y=g(x)$ y por abajo por la curva $y=f(x)$, desde $x=0$ (donde empieza en $B$) hasta $x=3$ (donde las dos curvas se cortan en $C$). Comprobamos primero que $C$ es efectivamente un punto común.

$f(3)=27-36+12=3,g(3)=-{\left({\displaystyle \frac{3-1}{2}}\right)}^2+4=-1+4=3\Rightarrow C(3,3)\text{est}\acute{\text{a}}\text{ en las dos curvas.}$

Restamos las dos funciones y comprobamos que la diferencia no cambia de signo dentro del intervalo.

$g(x)-f(x)=-{\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{4}}+4-x^3+4x^2-4x=-x^3+{\displaystyle \frac{15}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{7}{2}}x+{\displaystyle \frac{15}{4}}$

$g(x)-f(x)=-{\displaystyle \frac{(x-3)(4x^2-3x+5)}{4}}$

El factor $4x^2-3x+5$ no tiene raíces reales (su discriminante es $9-80<0$) y es positivo; por tanto, para $0\le x<3$ se tiene $x-3<0$ y la diferencia es positiva: $g$ va por encima de $f$ en todo el intervalo.

$A_{\text{punteada}}={\int }_0^3[g(x)-f(x)]dx={\int }_0^3(-x^3+{\displaystyle \frac{15}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{7}{2}}x+{\displaystyle \frac{15}{4}})dx$

$={[-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{4}}{x}^3-{\displaystyle \frac{7}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{15}{4}}x]}_0^3$

$=-{\displaystyle \frac{81}{4}}+{\displaystyle \frac{135}{4}}-{\displaystyle \frac{63}{4}}+{\displaystyle \frac{45}{4}}-0={\displaystyle \frac{36}{4}}=9$

El área de la zona punteada es de $9{\text{m}}^2$.



El logotipo se compone solo de la zona punteada y la rayada, así que el área rayada es la diferencia entre el área total y la que acabamos de calcular.

$A_{\text{rayada}}={\displaystyle \frac{175}{12}}-9={\displaystyle \frac{175}{12}}-{\displaystyle \frac{108}{12}}={\displaystyle \frac{67}{12}}\approx \mathrm{5,58}{\text{m}}^2$

$A_{\text{punteada}}=9{\text{m}}^2>{\displaystyle \frac{67}{12}}{\text{m}}^2=A_{\text{rayada}}$

Como la zona punteada mide $9{\text{m}}^2$ y la rayada $\frac{67}{12}\approx \mathrm{5,58}{\text{m}}^2$, necesitarán más pintura azul.