Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Sea $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}x-1,& \text{si }x\le 2\\ {\displaystyle \frac{1}{x-1}},& \text{si }x>2\end{array}$ la función derivada de una función derivable $f(x)$ que pasa por el punto $A=(0,3)$.

a) Calcule la función $f(x)$. [1,5 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ en el punto de abscisa $x=3$. [1 punto]

Conocer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ significa conocer $f(x)$ salvo una constante en cada trozo, así que integramos por separado en cada rama y después fijamos las dos constantes con las condiciones del enunciado.

$\text{Si }x\le 2:f(x)=\int (x-1)dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x+K_1$

$\text{Si }x>2:f(x)=\int {\displaystyle \frac{1}{x-1}}dx=\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+K_2=\ln (x-1)+K_2$

En la segunda rama el valor absoluto se puede quitar porque, para $x>2$, se tiene $x-1>1>0$.

La primera constante sale de que la gráfica pasa por $A=(0,3)$, y $x=0$ pertenece a la primera rama.

$f(0)=3\Rightarrow {\displaystyle \frac{0^2}{2}}-0+K_1=3\Rightarrow K_1=3$

La segunda constante sale de la continuidad en $x=2$: el enunciado dice que $f$ es derivable, y toda función derivable es continua.

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{4}{2}}-2+3=3,{\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=\ln (2-1)+K_2=\ln 1+K_2=K_2$

$3=K_2\Rightarrow K_2=3$

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x+3,& \text{si }x\le 2\\ \ln (x-1)+3,& \text{si }x>2\end{array}$

Conviene observar que $f$ es efectivamente derivable en $x=2$, porque las dos ramas de $f^{\mathrm{\prime }}$ coinciden allí: $2-1=1$ y $\frac{1}{2-1}=1$.

La función buscada es la definida a trozos anterior, que vale $\frac{x^2}{2}-x+3$ hasta $x=2$ y $\ln (x-1)+3$ a partir de ahí.



Ahora la función que se deriva es $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, y como $3>2$ hay que usar su segunda rama. La pendiente de la tangente será, por tanto, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x-1}}=(x-1{)}^{-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-(x-1{)}^{-2}={\displaystyle \frac{-1}{(x-1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{1}{3-1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{-1}{(3-1{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

$y-f^{\mathrm{\prime }}(3)=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)(x-3)\Rightarrow y-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}(x-3)$

$y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+{\displaystyle \frac{5}{4}}$

La recta tangente a la gráfica de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ en el punto de abscisa $x=3$ es $y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+{\displaystyle \frac{5}{4}}$.