Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Sea la función $f(x)$ definida por $f(x)=-3x+e^{2x^3-1}$.

a) Justifique que $f(x)=2$ tiene una solución en el intervalo $(-1,0)$. [1,25 puntos]
b) Sea la función $h(x)=-3x^2+e^{2x^3-1}$. Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x)$ y $h(x)$. [1,25 puntos]

Resolver $f(x)=2$ equivale a buscar un cero de la función auxiliar $g(x)=f(x)-2$, y para eso aplicamos el teorema de Bolzano.

$g(x)=-3x+e^{2x^3-1}-2$

La función $g$ es continua en $[-1,0]$ por ser suma de un polinomio y de una exponencial cuyo exponente es polinómico. Evaluamos en los extremos.

$g(-1)=3+e^{2(-1{)}^3-1}-2=3+e^{-3}-2=1+e^{-3}\approx \mathrm{1,0498}>0$

$g(0)=0+e^{-1}-2\approx \mathrm{0,3679}-2=-\mathrm{1,6321}<0$

Los signos son distintos, así que por el teorema de Bolzano existe al menos un $c\in (-1,0)$ con $g(c)=0$, es decir, con $f(c)=2$.

La ecuación $f(x)=2$ tiene, por tanto, al menos una solución en el intervalo $(-1,0)$.



Buscamos primero los puntos de corte de las dos gráficas. Al restar las funciones, la exponencial, que es común a las dos, desaparece, y queda una ecuación de segundo grado.

$f(x)-h(x)=(-3x+e^{2x^3-1})-(-3x^2+e^{2x^3-1})=3x^2-3x=3x(x-1)$

$3x(x-1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}$

Entre esas dos abscisas la diferencia no cambia de signo. Tomando $x=\frac{1}{2}$:

$3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}<0\Rightarrow h(x)>f(x)\text{ en }(0,1)$



Integramos, por tanto, la diferencia $h-f$ entre 0 y 1.

$A={\int }_0^1[h(x)-f(x)]dx={\int }_0^1(3x-3x^2)dx$

$A={[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-x^3]}_0^1=({\displaystyle \frac{3}{2}}-1)-0={\displaystyle \frac{1}{2}}$

El área de la región comprendida entre las dos gráficas es de ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ unidades cuadradas.