Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x)=x^3$.

a) Calcule en qué punto del tercer cuadrante la recta tangente a $y=f(x)$ es paralela a la recta $3x-y=4$. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto y haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función y las dos rectas. [1,25 puntos]
b) Calcule el área de la región delimitada por $y=f(x)$ y la recta $y=3x+2$. [1,25 puntos]

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, así que empezamos escribiendo la recta dada en forma explícita para leer la suya.

$3x-y=4\Rightarrow y=3x-4\Rightarrow m=3$

La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada, de modo que imponemos que valga 3.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$

$3x^2=3\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

$x=1\Rightarrow y=1^3=1\Rightarrow (1,1)\text{ (primer cuadrante)}$

$x=-1\Rightarrow y=(-1{)}^3=-1\Rightarrow (-1,-1)\text{ (tercer cuadrante)}$

Se descarta el punto $(1,1)$ porque el enunciado pide el del tercer cuadrante, donde las dos coordenadas son negativas.

$y-(-1)=3(x-(-1))\Rightarrow y+1=3x+3\Rightarrow y=3x+2$



La recta tangente en el punto $(-1,-1)$ es $y=3x+2$, paralela a la recta dada porque las dos tienen pendiente 3.



Buscamos primero los puntos de corte de la curva con la recta, que serán los límites de integración.

$x^3=3x+2\Rightarrow x^3-3x-2=0$

Por Ruffini, $x=-1$ es raíz, y al dividir queda $x^2-x-2$, cuyas raíces son $-1$ y $2$.

$x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1(\text{doble})\\ x=2\end{array}$

La raíz doble en $x=-1$ era previsible: por el apartado a) la recta es tangente a la curva en ese punto.

Entre $-1$ y $2$ el factor $(x+1{)}^2$ es positivo y $x-2$ es negativo, luego $x^3-(3x+2)<0$: la recta va por encima de la curva.



$A={\int }_{-1}^2[(3x+2)-x^3]dx={[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+2x-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}]}_{-1}^2$

$A=(6+4-4)-({\displaystyle \frac{3}{2}}-2-{\displaystyle \frac{1}{4}})=6-(-{\displaystyle \frac{3}{4}})={\displaystyle \frac{27}{4}}$

El área de la región delimitada por la curva y la recta es ${\displaystyle \frac{27}{4}}=\mathrm{6,75}$ unidades cuadradas.