Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Calcule el área de la superficie comprendida entre las curvas $f(x)=6x-x^2$, $g(x)=x^2-2x$ y sus puntos de corte. [10 puntos]

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, así que empezamos igualando las dos funciones.

$6x-x^2=x^2-2x$

$0=2x^2-8x\Rightarrow 2x(x-4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}$

$x=0\Rightarrow y=0;x=4\Rightarrow y=6\cdot 4-16=8$

Las curvas se cortan en $(0,0)$ y en $(4,8)$. Para saber cuál va por encima dentro del recinto evaluamos las dos en un punto intermedio.

$\text{Si }x=1:f(1)=5>g(1)=-1$

La parábola $f$, de ramas hacia abajo, queda por encima de $g$, de ramas hacia arriba, en todo el intervalo.



El área se obtiene integrando la diferencia entre la función de arriba y la de abajo, y aplicando después la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_0^4[(6x-x^2)-(x^2-2x)]dx={\int }_0^4(8x-2x^2)dx$

$\mathcal{A}={[4x^2-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}]}_0^4=(64-{\displaystyle \frac{128}{3}})-0$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{192-128}{3}}={\displaystyle \frac{64}{3}}\approx \mathrm{21,33}$

El área de la superficie comprendida entre las dos curvas es ${\displaystyle \frac{64}{3}}\approx \mathrm{21,33}$ unidades de área.