Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Sean las funciones $f(x)=x^3$ y $g(x)=a\cdot x^2$, donde $a$ es un número real positivo.

a) Encuentre, en función del parámetro $a$, los puntos de corte entre las dos curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$ y haga un esbozo de la región limitada por las dos gráficas. [1,25 puntos]
b) Calcule el valor de $a$ para que el área comprendida entre $y=f(x)$ e $y=g(x)$ sea ${\displaystyle \frac{27}{4}}{u}^2$. [1,25 puntos]

Igualamos las dos funciones para hallar las abscisas comunes.

$x^3=a{x}^2\Rightarrow x^3-a{x}^2=0\Rightarrow x^2(x-a)=0$

$\{\begin{array}{l}x=0(\text{doble})\\ x=a\end{array}$

$x=0\Rightarrow y=0^3=0\Rightarrow (0,0)$

$x=a\Rightarrow y=a^3\Rightarrow (a,a^3)$

Entre esas dos abscisas comparamos las dos funciones para saber cuál va por encima. Como $a>0$:

$0<x<a\Rightarrow g(x)-f(x)=a{x}^2-x^3=x^2(a-x)>0\Rightarrow g(x)>f(x)$



Las dos curvas se cortan en $(0,0)$ y en $(a,a^3)$, y entre esos dos puntos la parábola $y=a{x}^2$ queda por encima de la cúbica $y=x^3$, encerrando el recinto sombreado.



Integramos entre los dos cortes la diferencia entre la función de arriba y la de abajo.

$A={\int }_0^a(a{x}^2-x^3)dx={[{\displaystyle \frac{a{x}^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}]}_0^a$

$A={\displaystyle \frac{a\cdot a^3}{3}}-{\displaystyle \frac{a^4}{4}}={\displaystyle \frac{a^4}{3}}-{\displaystyle \frac{a^4}{4}}={\displaystyle \frac{4a^4-3a^4}{12}}={\displaystyle \frac{a^4}{12}}$

Igualamos al área que pide el enunciado.

${\displaystyle \frac{a^4}{12}}={\displaystyle \frac{27}{4}}\Rightarrow a^4={\displaystyle \frac{27\cdot 12}{4}}=81$

$a=\pm \sqrt[4]{81}=\pm 3$

Se descarta $a=-3$ porque el enunciado dice que $a$ es un número real positivo.

El valor pedido es $a=3$; con él las curvas son $y=x^3$ e $y=3x^2$, que se cortan en $(0,0)$ y $(3,27)$.