Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

a) Encuentre una función polinómica $y=g(x)$ de grado 3 tal que corte el eje de ordenadas en el punto $(0,5)$, que la recta tangente a $y=g(x)$ en el punto de abscisa $x=1$ sea horizontal y que $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2x+1$. [1 punto]
b) Compruebe que la función $f(x)=-x^3+6x^2-16$ tiene una raíz en $x=2$ y que es estrictamente creciente en el intervalo $(0,4)$. Utilice esta información para calcular el área determinada por la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=0$ y $x=4$. [1,5 puntos]

Partimos del dato más fuerte, la derivada segunda, e integramos dos veces; cada integración deja una constante que fijaremos con las otras dos condiciones.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\int (2x+1)dx=x^2+x+C_1$

Que la recta tangente en $x=1$ sea horizontal significa que su pendiente es cero, es decir, $g^{\mathrm{\prime }}(1)=0$.

$g^{\mathrm{\prime }}(1)=1+1+C_1=0\Rightarrow C_1=-2$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2+x-2$

$g(x)=\int (x^2+x-2)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2x+C_2$

Que la gráfica corte al eje de ordenadas en $(0,5)$ significa que $g(0)=5$.

$g(0)=C_2=5$

$g(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2x+5$

La función pedida es $g(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2x+5$, que es de grado 3 y cumple las tres condiciones.



Comprobamos primero la raíz sustituyendo.

$f(2)=-2^3+6\cdot 2^2-16=-8+24-16=0$

Para el crecimiento estudiamos el signo de la derivada en el intervalo.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+12x=-3x(x-4)$

$0<x<4\Rightarrow x>0\text{ y }x-4<0\Rightarrow -3x<0\text{ y }(x-4)<0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$

La derivada es positiva en todo el intervalo, luego $f$ es estrictamente creciente en $(0,4)$.

Esta información es la que resuelve el problema del área: al ser estrictamente creciente y anularse en $x=2$, la función es negativa antes de esa abscisa y positiva después, y solo cambia de signo ahí. El recinto tiene, por tanto, dos trozos.



$F(x)=\int (-x^3+6x^2-16)dx=-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+2x^3-16x$

$F(0)=0,F(2)=-4+16-32=-20,F(4)=-64+128-64=0$

$A_1=\mid {\int }_0^{2}f(x)dx\mid =\mathrm{\mid }F(2)-F(0)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-20\mathrm{\mid }=20$

$A_2={\int }_2^{4}f(x)dx=F(4)-F(2)=0-(-20)=20$

$A=A_1+A_2=20+20=40$

El área determinada por la curva, el eje de abscisas y las rectas $x=0$ y $x=4$ es de 40 unidades cuadradas. Obsérvese que integrar directamente entre 0 y 4 habría dado 0, porque los dos trozos se compensan: por eso hacía falta saber dónde cambia de signo la función.