Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Sea $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x$ la derivada de una función $f(x)$.

a) Si sabemos que $f(x)$ corta el eje de abscisas en $x=1$, calcule la expresión de la función $f(x)$. [0,75 puntos]
b) Calcule la abscisa del punto de inflexión de $f(x)$ y estudie la concavidad de la función. [0,75 puntos]
c) Sabemos que el área del recinto limitado por la curva $y=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=0$ y $x=a$, con $a>2$, es $15u^2$. Calcule el valor de $a$. [1 punto]

Conocer la derivada determina la función salvo una constante, así que integramos y luego fijamos la constante con el dato del corte.

$f(x)=\int (3x^2-12x)dx=x^3-6x^2+C$

Que la gráfica corte al eje de abscisas en $x=1$ significa que $f(1)=0$.

$f(1)=1-6+C=0\Rightarrow C=5$

$f(x)=x^3-6x^2+5$

La función es $f(x)=x^3-6x^2+5$.



Los puntos de inflexión y la concavidad se estudian con la derivada segunda.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-12$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 6x-12=0\Rightarrow x=2$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-12$ es una recta de pendiente positiva, así que cambia de signo al pasar por $x=2$.

$x<2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{ es c}\acute{\text{o}}\text{ncava hacia abajo}$

$x>2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es c}\acute{\text{o}}\text{ncava hacia arriba (convexa)}$

Como la derivada segunda cambia de signo en $x=2$, ahí hay un punto de inflexión.

$f(2)=8-24+5=-11\Rightarrow (2,-11)$

La función tiene un punto de inflexión de abscisa $x=2$, es cóncava hacia abajo en $(-\mathrm{\infty },2)$ y cóncava hacia arriba en $(2,+\mathrm{\infty })$.



La curva $y=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-12$ es una recta que corta al eje de abscisas justamente en $x=2$, y como $a>2$ ese corte queda dentro del intervalo de integración. El recinto consta, por tanto, de dos trozos: uno por debajo del eje en $[0,2]$ y otro por encima en $[2,a]$, y hay que sumar sus áreas.



$A_1={\int }_0^2(12-6x)dx={[12x-3x^2]}_0^2=24-12=12$

$A_2={\int }_2^a(6x-12)dx={[3x^2-12x]}_2^a=(3a^2-12a)-(12-24)=3a^2-12a+12$

$A_1+A_2=12+3a^2-12a+12=3a^2-12a+24$

Igualamos al área que da el enunciado y resolvemos.

$3a^2-12a+24=15\Rightarrow 3a^2-12a+9=0\Rightarrow a^2-4a+3=0$

$a={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=3\\ a=1\end{array}$

Se descarta $a=1$ porque el enunciado exige $a>2$.

El valor pedido es $a=3$; en efecto, $A_1=12$ y $A_2=3$ suman las 15 unidades cuadradas del enunciado.