Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

PREGUNTA 8. Estadística y Probabilidad. (2 puntos)
Una máquina que distribuye agua en botellas echa una cantidad de agua que sigue una distribución normal con media igual a 500 mililitros y desviación típica igual a 4 mililitros.

a) Si elegimos al azar una de las botellas, ¿cuál es la probabilidad de que lleve entre 499 y 502 mililitros?
b) ¿Cuál es la cantidad de agua, en mililitros, excedida por el 97,5% de estas botellas?

Sea $X$ la cantidad de agua, en mililitros, que la máquina echa en una botella. Del enunciado, $X\sim N(500,4)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{elegimos}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{botellas,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lleve}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{499}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{502}}\mathbf{\text{mililitros?}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo para pasar a la normal estándar $Z\sim N(0,1)$.

$P(499<X<502)=P({\displaystyle \frac{499-500}{4}}<Z<{\displaystyle \frac{502-500}{4}})=P(-\mathrm{0,25}<Z<\mathrm{0,5})$

$P(-\mathrm{0,25}<Z<\mathrm{0,5})=P(Z\le \mathrm{0,5})-P(Z\le -\mathrm{0,25})$

La tabla solo recoge valores positivos, así que el segundo lo obtenemos por simetría.

$P(Z\le -\mathrm{0,25})=1-P(Z\le \mathrm{0,25})=1-\mathrm{0,5987}=\mathrm{0,4013}$

$P(499<X<502)=\mathrm{0,6915}-\mathrm{0,4013}=\mathrm{0,2902}$



La probabilidad de que una botella lleve entre 499 y 502 mililitros es de 0,2902, es decir, algo más del 29 % de las botellas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{mililitros,}}\mathbf{\text{excedida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{97,5\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{botellas?}}$

Buscamos el valor $q$ que el 97,5 % de las botellas supera, es decir, el que deja a su derecha una probabilidad de 0,975.

$P(X>q)=\mathrm{0,975}\Rightarrow P(Z>{\displaystyle \frac{q-500}{4}})=\mathrm{0,975}$

Como la probabilidad a la derecha es mayor que 0,5, el valor tipificado es negativo. Pasamos al suceso contrario y usamos la simetría:

$P(Z\le {\displaystyle \frac{q-500}{4}})=1-\mathrm{0,975}=\mathrm{0,025}\Rightarrow {\displaystyle \frac{q-500}{4}}=-\mathrm{1,96}$

ya que en la tabla $P(Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,975}$. Despejamos:

$q=500-\mathrm{1,96}\cdot 4=500-\mathrm{7,84}=\mathrm{492,16}$

El 97,5 % de las botellas supera los 492,16 mililitros.