Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

8. Estadística y Probabilidad:
Para un determinado grupo de pacientes, la tensión arterial sistólica (medida en mmHg) sigue una distribución normal de media 123.6 y desviación típica 17.8. Calcule la probabilidad de que un paciente elegido al azar tenga una tensión comprendida entre 100 y 120 mmHg. Luego, obtenga el valor de la tensión que es superado por el 67% de los pacientes.

Sea $X$ la tensión arterial sistólica, en mmHg, de un paciente de ese grupo. Del enunciado, $X\sim N(\mathrm{123,6};\mathrm{17,8})$.

$\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{paciente}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{tensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{comprendida}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{120}}\mathbf{\text{mmHg.}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo para pasar a la normal estándar $Z\sim N(0,1)$.

${\displaystyle \frac{100-\mathrm{123,6}}{\mathrm{17,8}}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{23,6}}{\mathrm{17,8}}}=-\mathrm{1,33}{\displaystyle \frac{120-\mathrm{123,6}}{\mathrm{17,8}}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{3,6}}{\mathrm{17,8}}}=-\mathrm{0,20}$

$P(100<X<120)=P(-\mathrm{1,33}<Z<-\mathrm{0,20})=P(Z\le -\mathrm{0,20})-P(Z\le -\mathrm{1,33})$

La tabla solo recoge valores positivos, así que aplicamos la simetría de la campana a los dos términos.

$P(Z\le -\mathrm{0,20})=1-P(Z\le \mathrm{0,20})=1-\mathrm{0,5793}=\mathrm{0,4207}$

$P(Z\le -\mathrm{1,33})=1-P(Z\le \mathrm{1,33})=1-\mathrm{0,9082}=\mathrm{0,0918}$

$P(100<X<120)=\mathrm{0,4207}-\mathrm{0,0918}=\mathrm{0,3289}$



La probabilidad de que un paciente elegido al azar tenga una tensión entre 100 y 120 mmHg es de 0,3289, cerca de un tercio de los pacientes.

$\mathbf{\text{Luego,}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{superado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{67\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{pacientes.}}$

Buscamos el valor $q$ que deja a su derecha una probabilidad de 0,67.

$P(X>q)=\mathrm{0,67}\Rightarrow P(Z>{\displaystyle \frac{q-\mathrm{123,6}}{\mathrm{17,8}}})=\mathrm{0,67}$

Al ser esa probabilidad mayor que 0,5, el valor tipificado es negativo. Pasamos al suceso contrario:

$P(Z\le {\displaystyle \frac{q-\mathrm{123,6}}{\mathrm{17,8}}})=1-\mathrm{0,67}=\mathrm{0,33}$

y por simetría, como en la tabla $P(Z\le \mathrm{0,44})=\mathrm{0,67}$:

${\displaystyle \frac{q-\mathrm{123,6}}{\mathrm{17,8}}}=-\mathrm{0,44}\Rightarrow q=\mathrm{123,6}-\mathrm{0,44}\cdot \mathrm{17,8}$

$q=\mathrm{123,6}-\mathrm{7,83}=\mathrm{115,77}$

El 67 % de los pacientes supera una tensión de 115,77 mmHg.