Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

El tiempo de vida de los individuos de cierta especie animal tiene una distribución normal con una media de 8.8 meses y una desviación típica de 3 meses.

a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de individuos de esta especie superan los 10 meses? ¿Qué porcentaje de individuos ha vivido entre 7 y 10 meses?
b) (1 punto) Si se toman al azar 4 especímenes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno no supere los 10 meses de vida?
c) (0.5 puntos) ¿Qué valor de c es tal que el intervalo $(8.8-c,8.8+c)$ incluye el tiempo de vida (medido en meses) del 98 % de los individuos de esta especie?

Llamamos $T$ al tiempo de vida de un individuo, medido en meses, que según el enunciado se distribuye de forma normal.

$T\sim N(\mu ,\sigma )=N(\mathrm{8,8};3)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{especie}}\mathbf{\text{supera}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{meses?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{vivido}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{meses?}}$

Tipificamos y usamos la tabla de la normal estándar.

$P(T>10)=P(Z>{\displaystyle \frac{10-\mathrm{8,8}}{3}})=P(Z>\mathrm{0,40})=1-\mathrm{0,6554}$

$P(T>10)=\mathrm{0,3446}$



Un $\mathrm{34,46}\mathrm{\%}$ de los individuos supera los 10 meses. Para la segunda pregunta tipificamos los dos extremos del intervalo.

$P(7<T<10)=P({\displaystyle \frac{7-\mathrm{8,8}}{3}}<Z<\mathrm{0,40})=P(-\mathrm{0,60}<Z<\mathrm{0,40})$

$=\mathrm{0,6554}-\mathrm{0,2743}=\mathrm{0,3811}$



Un $\mathrm{38,11}\mathrm{\%}$ ha vivido entre 7 y 10 meses.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{toman}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{espec}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{menes,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{supere}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{meses}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vida?}}$

Cada espécimen no supera los 10 meses con la probabilidad complementaria de la del apartado anterior, y los cuatro son independientes, así que el número $X$ de los que no los superan sigue una binomial.

$p=P(T\le 10)=1-\mathrm{0,3446}=\mathrm{0,6554}\Rightarrow X\sim B(4;\mathrm{0,6554})$

Pasamos al suceso contrario: que los cuatro superen los 10 meses.

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-{\mathrm{0,3446}}^4=1-\mathrm{0,0141}$

$P(X\ge 1)=\mathrm{0,9859}$



El intervalo está centrado en la media, así que al tipificar queda simétrico respecto del origen y podemos usar la simetría de la campana.

$P(\mathrm{8,8}-c<T<\mathrm{8,8}+c)=P(-{\displaystyle \frac{c}{3}}<Z<{\displaystyle \frac{c}{3}})=\mathrm{0,98}$

$2\mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{c}{3}}\right)-1=\mathrm{0,98}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{c}{3}}\right)=\mathrm{0,99}$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que acumula $\mathrm{0,99}$.

${\displaystyle \frac{c}{3}}=\mathrm{2,33}\Rightarrow c=\mathrm{6,99}$