Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

8. Estadística y Probabilidad:
En una cadena de montaje, el tiempo empleado para realizar un determinado trabajo sigue una distribución normal de media 20 minutos y desviación típica 4 minutos. Calcule la probabilidad de que se haga ese trabajo en un tiempo comprendido entre 16 y 26 minutos.

$\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cadena}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{montaje,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{empleado}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{determinado}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{minutos.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haga}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{comprendido}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{16}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{26}}\mathbf{\text{minutos.}}$

Sea $X$ el tiempo, en minutos, empleado en realizar el trabajo. Del enunciado, $X\sim N(20,4)$.

Tipificamos los dos extremos del intervalo para pasar a la normal estándar $Z\sim N(0,1)$.

${\displaystyle \frac{16-20}{4}}=-1{\displaystyle \frac{26-20}{4}}=\mathrm{1,5}$

$P(16<X<26)=P(-1<Z<\mathrm{1,5})=P(Z\le \mathrm{1,5})-P(Z\le -1)$

Como la tabla solo recoge valores positivos, el segundo término lo obtenemos por la simetría de la campana respecto de la media.

$P(Z\le -1)=1-P(Z\le 1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$

$P(16<X<26)=\mathrm{0,9332}-\mathrm{0,1587}=\mathrm{0,7745}$



La probabilidad de que el trabajo se realice en un tiempo comprendido entre 16 y 26 minutos es de 0,7745, es decir, algo más del 77 % de las veces.