Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

La longitud de la sardina del Pacífico (Sardinops sagax) se puede considerar que es una variable aleatoria con distribución normal de media 175 mm y desviación típica 25.75 mm.

a) (1 punto) Una empresa envasadora de esta variedad de sardinas solo admite como sardinas de calidad aquellas con una longitud superior a 16 cm. ¿Qué porcentaje de las sardinas capturadas por un buque pesquero serán de la calidad que espera la empresa envasadora?
b) (0.5 puntos) Hallar una longitud $t<175$ mm tal que entre t y 175 mm estén el 18 % de las sardinas capturadas.\nc) (1 punto) En altamar se procesan las sardinas en lotes de 10. Posteriormente se devuelven al mar las sardinas de cada lote que son menores de 15 cm por considerarlas pequeñas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote haya al menos una sardina devuelta por pequeña?\n

Llamamos $X$ a la longitud de una sardina, medida en milímetros, que según el enunciado se distribuye de forma normal.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(175;\mathrm{25,75})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{sardinas}}\mathbf{\text{capturadas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{buque}}\mathbf{\text{pesquero}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{espera}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{envasadora?}}$

La empresa admite las que pasan de 16 cm, es decir, de 160 mm. Tipificamos para poder usar la tabla.

$P(X>160)=P(Z>{\displaystyle \frac{160-175}{\mathrm{25,75}}})=P(Z>-\mathrm{0,58})$

Por la simetría de la campana, la cola de la derecha desde un valor negativo es el área acumulada hasta su opuesto.

$P(Z>-\mathrm{0,58})=P(Z<\mathrm{0,58})=\mathrm{0,7190}$



Alrededor del $\mathrm{71,9}\mathrm{\%}$ de las sardinas capturadas tendrán la calidad que espera la empresa.



Aquí el dato es el área y la incógnita el valor, así que se recorre la tabla al revés. Como 175 es la media, acumula la mitad de la distribución.

$P(t<X<175)=\mathrm{0,18}\Rightarrow P(X<t)=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,32}$



Buscamos en la tabla el valor tipificado cuya área acumulada es $\mathrm{0,32}$; al ser menor que $\mathrm{0,5}$ queda a la izquierda de la media.

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,47})=\mathrm{0,68}\Rightarrow z=-\mathrm{0,47}$

$t=\mu +z\sigma =175-\mathrm{0,47}\cdot \mathrm{25,75}=\mathrm{162,9}$

La longitud buscada es de unos $\mathrm{162,9}$ mm.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{lote}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{sardina}}\mathbf{\text{devuelta}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{peque}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{a?}}$

Primero calculamos la probabilidad de que una sardina cualquiera mida menos de 15 cm, que es lo que la hace pequeña.

$p=P(X<150)=P(Z<{\displaystyle \frac{150-175}{\mathrm{25,75}}})=P(Z<-\mathrm{0,97})$

$p=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,97})=1-\mathrm{0,834}=\mathrm{0,166}$

Cada lote son 10 sardinas independientes con esa misma probabilidad, así que el número $Y$ de devueltas sigue una binomial. Lo cómodo es pasar al suceso contrario.

$Y\sim B(10;\mathrm{0,166})$

$P(Y\ge 1)=1-P(Y=0)=1-{\mathrm{0,834}}^{10}$

$P(Y\ge 1)=1-\mathrm{0,1628}=\mathrm{0,8372}$

La probabilidad de que en un lote haya al menos una sardina devuelta por pequeña es de $\mathrm{0,8372}$.