Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

Las notas del examen de Matemáticas II de la EBAU siguen una distribución normal de media 6,5 y desviación típica de 1,5. Se elige al azar un alumno de Matemáticas II de la EBAU:

a) Calcule la probabilidad de que un alumno haya aprobado (nota mayor o igual que 5). [1 punto]

b) Calcule la nota que tiene que sacar un alumno para que su nota sea superior al 97,50 % de las notas. [1 punto]

Sea $X$ la nota del examen de Matemáticas II. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(\mathrm{6,5};\mathrm{1,5})$

Para poder usar la tabla de la normal tipificada trabajamos con la variable

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-\mathrm{6,5}}{\mathrm{1,5}}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{aprobado}}\mathbf{\text{(nota}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{5).}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tipificamos el valor $5$ y pasamos al área de la derecha.

$P(X\ge 5)=P(Z\ge {\displaystyle \frac{5-\mathrm{6,5}}{\mathrm{1,5}}})=P(Z\ge -1)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, el área a la derecha de $-1$ es la misma que la que queda a la izquierda de $1$:

$P(Z\ge -1)=P(Z\le 1)=\mathrm{\Phi }(1)=\mathrm{0,8413}$



La probabilidad de que un alumno haya aprobado es $\mathrm{0,8413}$, es decir, un $\mathrm{84,13}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sacar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{97,50}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{notas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Aquí el dato es la probabilidad y la incógnita es el valor de la variable: buscamos el $k$ que deja a su izquierda el $\mathrm{97,50}\mathrm{\%}$ del área.

$P(X<k)=\mathrm{0,9750}\Rightarrow P(Z<{\displaystyle \frac{k-\mathrm{6,5}}{\mathrm{1,5}}})=\mathrm{0,9750}$

Buscamos ese valor en el interior de la tabla y leemos la abscisa correspondiente:

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,96})=\mathrm{0,9750}\Rightarrow {\displaystyle \frac{k-\mathrm{6,5}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{1,96}$

$k=\mathrm{6,5}+\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{1,5}=\mathrm{6,5}+\mathrm{2,94}=\mathrm{9,44}$



El alumno tiene que sacar una nota de $\mathrm{9,44}$ para superar al $\mathrm{97,50}\mathrm{\%}$ de sus compañeros.