Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

El número de ventas diarias de periódicos en un quiosco se distribuye como una distribución normal de media 30 periódicos y desviación típica $\sqrt{2}$. Determine:

a) La probabilidad de que en un día se vendan entre 28 y 31 periódicos. [1 punto]

b) Justifique si es cierto que la probabilidad de vender más de 32 periódicos es menor que 0,1. [0,75 puntos]

c) El dueño del quiosco considera que su puesto está situado en una buena zona, ya que sabe que hay más de un 80 % de posibilidades de vender más de 29 periódicos diarios. ¿Está en lo cierto? Justifíquelo. [0,75 puntos]

Llamamos $X$ al número de periódicos vendidos en un día. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(30,\sqrt{2})$

En los tres apartados se tipifica la variable para poder usar la tabla de la $N(0,1)$, que solo recoge valores positivos de $z$.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-30}{\sqrt{2}}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{vendan}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{28}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{31}}\mathbf{\text{peri}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dicos.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

$P(28<X<31)=P({\displaystyle \frac{28-30}{\sqrt{2}}}<Z<{\displaystyle \frac{31-30}{\sqrt{2}}})=P(-\mathrm{1,41}<Z<\mathrm{0,71})$

$=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,71})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{1,41})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,71})-[1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,41})]$

$=\mathrm{0,7611}-(1-\mathrm{0,9207})=\mathrm{0,7611}-\mathrm{0,0793}=\mathrm{0,6818}$



La probabilidad de vender entre 28 y 31 periódicos en un día es $\mathrm{0,6818}$, es decir, un $\mathrm{68,18}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{cierto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{32}}\mathbf{\text{peri}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dicos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{0,1.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$P(X>32)=P(Z>{\displaystyle \frac{32-30}{\sqrt{2}}})=P(Z>\mathrm{1,41})$

$=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,41})=1-\mathrm{0,9207}=\mathrm{0,0793}$



Como $\mathrm{0,0793}<\mathrm{0,1}$, la afirmación es cierta: la probabilidad de vender más de 32 periódicos en un día no llega al $10\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{due}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{quiosco}}\mathbf{\text{considera}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{puesto}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{buena}}\mathbf{\text{zona,}}\mathbf{\text{ya}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{posibilidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{29}}\mathbf{\text{peri}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dicos}}\mathbf{\text{diarios.}}\mathbf{\text{¿Est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{cierto?}}\mathbf{\text{Justif}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quelo.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$P(X>29)=P(Z>{\displaystyle \frac{29-30}{\sqrt{2}}})=P(Z>-\mathrm{0,71})$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, el área que queda a la derecha de $-\mathrm{0,71}$ es la misma que la que queda a la izquierda de $\mathrm{0,71}$:

$P(Z>-\mathrm{0,71})=P(Z<\mathrm{0,71})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,71})=\mathrm{0,7611}$



La probabilidad de vender más de 29 periódicos diarios es del $\mathrm{76,11}\mathrm{\%}$, que no llega al $80\mathrm{\%}$. El dueño del quiosco no está en lo cierto.