Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

Suponiendo que el tiempo de espera en la cola de Correos sigue una distribución normal de media 7,5 minutos con 2 minutos de desviación típica.

a) Halle el porcentaje de personas que esperan más de 9 minutos. [1,25 puntos]

b) Correos afirma que: «Menos del 40 % de las personas que acuden a Correos esperan entre 7 y 10 minutos». ¿Es correcta la afirmación? [1,25 puntos]

Llamamos $X$ al tiempo de espera, en minutos, de una persona en la cola de Correos. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(\mathrm{7,5};2)$

En los dos apartados se tipifica la variable para poder usar la tabla de la $N(0,1)$, que solo recoge valores positivos de $z$.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-\mathrm{7,5}}{2}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{esperan}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{9}}\mathbf{\text{minutos.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$P(X>9)=P(Z>{\displaystyle \frac{9-\mathrm{7,5}}{2}})=P(Z>\mathrm{0,75})$

$=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,75})=1-\mathrm{0,7734}=\mathrm{0,2266}$



Un $\mathrm{22,66}\mathrm{\%}$ de las personas que acuden a Correos espera más de 9 minutos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Correos}}\mathbf{\text{afirma}}\mathbf{\text{que:}}\mathbf{\text{«Menos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{acuden}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Correos}}\mathbf{\text{esperan}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{minutos».}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{correcta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{afirmaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$P(7<X<10)=P({\displaystyle \frac{7-\mathrm{7,5}}{2}}<Z<{\displaystyle \frac{10-\mathrm{7,5}}{2}})=P(-\mathrm{0,25}<Z<\mathrm{1,25})$

$=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,25})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,25})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,25})-[1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,25})]$

$=\mathrm{0,8944}-(1-\mathrm{0,5987})=\mathrm{0,8944}-\mathrm{0,4013}=\mathrm{0,4931}$



Un $\mathrm{49,31}\mathrm{\%}$ de las personas espera entre 7 y 10 minutos, y ese porcentaje supera el $40\mathrm{\%}$. La afirmación de Correos no es correcta.