Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sea el plano $\pi :3x+y+z=2$ y los puntos $P=(0,1,1)$ y $Q=(2,-1,-3)$.

a) ¿Son $P$ y $Q$ puntos del plano $\pi$? Justifique la respuesta. [2 puntos]

b) Calcule el punto $S$ situado sobre la recta $PQ$ que se encuentra a 3/4 partes de $P$ y a 1/4 parte de $Q$. [4 puntos]

c) Determine la ecuación implícita (también llamada cartesiana) de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathit{Q}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un punto pertenece a un plano si sus coordenadas verifican la ecuación, así que basta sustituir.

$P(0,1,1):3\cdot 0+1+1=2$

$Q(2,-1,-3):3\cdot 2-1-3=6-4=2$

Los dos puntos verifican la ecuación $3x+y+z=2$, luego sí, tanto $P$ como $Q$ pertenecen al plano $\pi$. En consecuencia, toda la recta $PQ$ está contenida en él.





Recorrer tres cuartas partes del camino de $P$ a $Q$ significa sumar a $P$ tres cuartos del vector $\overrightarrow{PQ}$.

$\overrightarrow{PQ}=(2,-1,-3)-(0,1,1)=(2,-2,-4)$

$S=P+{\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{PQ}=(0,1,1)+{\displaystyle \frac{3}{4}}(2,-2,-4)$

$S=(0,1,1)+({\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}},-3)=({\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},-2)$

El punto pedido es $S(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},-2)$, que como comprobación también pertenece al plano: $\frac{9}{2}-\frac{1}{2}-2=2$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cita}}\mathbf{\text{(tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{llamada}}\mathbf{\text{cartesiana)}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una recta perpendicular a un plano tiene por vector director el normal del plano, que se lee de los coeficientes de su ecuación general.

${\vec{n}}_{\pi }=(3,1,1)$

$s:\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=1+t\\ z=1+t\end{array},t\in \mathbb{R}$

La ecuación implícita se obtiene eliminando el parámetro. De la primera ecuación, $t=\frac{x}{3}$, y sustituyendo en las otras dos:

$y=1+{\displaystyle \frac{x}{3}}\Rightarrow 3y=3+x\Rightarrow x-3y+3=0$

$z=1+{\displaystyle \frac{x}{3}}\Rightarrow 3z=3+x\Rightarrow x-3z+3=0$

$s:\{\begin{array}{l}x-3y+3=0\\ x-3z+3=0\end{array}$

La recta perpendicular al plano por el punto $P$ es la intersección de esos dos planos; obsérvese que restando las dos ecuaciones queda $y=z$, que también sirve como segunda ecuación.